cos15° ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) \(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)
B) \(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)
C) \(\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}\)
D) \(\frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}\)
Merhaba sevgili öğrenciler! Trigonometri sorularını çözerken, bildiğimiz açıların yardımıyla bilmediğimiz açıları bulmaya çalışırız. Bu soruda da aynı mantığı kullanacağız. cos15°'nin değerini bulmak için, bildiğimiz açıların (45°, 30°, 60° gibi) toplamını veya farkını kullanarak 15°'yi elde etmeye çalışacağız.
- Adım 1: 15°'yi elde etme: 15°'yi, 45° - 30° şeklinde yazabiliriz. Yani, cos15° = cos(45° - 30°)
- Adım 2: Kosinüs fark formülünü uygulama: Kosinüs fark formülü şöyledir: $cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)$. Bu formülü kullanarak cos(45° - 30°) ifadesini açalım:
$cos(45° - 30°) = cos(45°)cos(30°) + sin(45°)sin(30°)$
- Adım 3: Değerleri yerine koyma: Şimdi de bildiğimiz açıların kosinüs ve sinüs değerlerini yerine yazalım:
- $cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- $sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $sin(30°) = \frac{1}{2}$
Bu değerleri formülde yerine yazarsak:
$cos(15°) = (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{1}{2})$
- Adım 4: Sadeleştirme: Şimdi de ifadeyi sadeleştirelim:
$cos(15°) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$
$cos(15°) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
Gördüğünüz gibi, cos15°'nin değerini $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ olarak bulduk.
Cevap B seçeneğidir.
