Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Trigonometri bilgimizi kullanarak $\tan 105^\circ$'nin değerini bulacağız.
- Adım 1: $\tan 105^\circ$'yi iki açının toplamı şeklinde yazalım. En kolay yol, $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$ şeklinde yazmaktır. Yani, $\tan 105^\circ = \tan (60^\circ + 45^\circ)$ olur.
- Adım 2: Tanjant toplam formülünü hatırlayalım: $\tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}$. Bu formülü kullanarak $\tan (60^\circ + 45^\circ)$'yi açalım.
- Adım 3: $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ ve $\tan 45^\circ = 1$ olduğunu biliyoruz. Bu değerleri formülde yerine koyalım:
$$\tan (60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 60^\circ \cdot \tan 45^\circ} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$$
- Adım 4: Şimdi de paydayı rasyonel yapalım. Yani, pay ve paydayı paydanın eşleniği olan $(1 + \sqrt{3})$ ile çarpalım:
$$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3} + 3 + 1 + \sqrt{3}}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2}$$
- Adım 5: Son olarak, ifadeyi sadeleştirelim:
$$\frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = \frac{2(2 + \sqrt{3})}{-2} = -(2 + \sqrt{3}) = -2 - \sqrt{3}$$
Bu nedenle, $\tan 105^\circ = -2 - \sqrt{3}$'tür.
Cevap A seçeneğidir.
