Koordinat düzleminde bir üçgenin ağırlık merkezi G(3,5) noktasıdır. Köşelerden birinin koordinatları (1,2) olduğuna göre, diğer iki köşenin koordinatları toplamı kaçtır?
A) (8,13)
B) (9,14)
C) (10,15)
D) (11,16)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, koordinat düzleminde bir üçgenin ağırlık merkezi ve bir köşesinin koordinatları verilmiş. Bizden diğer iki köşenin koordinatları toplamını bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözerken ağırlık merkezi formülünü hatırlamamız çok önemlidir.
- Ağırlık Merkezi Formülünü Hatırlayalım: Bir üçgenin köşeleri $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ ve $C(x_3, y_3)$ ise, ağırlık merkezi $G(x_G, y_G)$ şu formüllerle bulunur:
- $x_G = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$
- $y_G = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$
Bu formüller, ağırlık merkezinin koordinatlarının, köşe koordinatlarının aritmetik ortalaması olduğunu gösterir.
- Verilen Bilgileri Yerine Yazalım:
- Ağırlık merkezi $G(x_G, y_G) = G(3,5)$ olarak verilmiş.
- Köşelerden biri $A(x_1, y_1) = (1,2)$ olarak verilmiş.
- Diğer iki köşenin koordinatları toplamını bulmamız isteniyor. Yani $(x_2 + x_3)$ ve $(y_2 + y_3)$ değerlerini bulup bir nokta olarak ifade edeceğiz.
- x-Koordinatları İçin Denklem Kuralım ve Çözelim:
- Formülü kullanarak $x$-koordinatları için denklemi yazalım: $3 = \frac{1 + x_2 + x_3}{3}$
- Denklemin her iki tarafını $3$ ile çarpalım: $3 \times 3 = 1 + x_2 + x_3$
- Bu durumda $9 = 1 + x_2 + x_3$ olur.
- Şimdi $x_2 + x_3$ değerini bulmak için $1$'i eşitliğin diğer tarafına atalım: $x_2 + x_3 = 9 - 1$
- Sonuç olarak $x_2 + x_3 = 8$ bulunur.
- y-Koordinatları İçin Denklem Kuralım ve Çözelim:
- Benzer şekilde $y$-koordinatları için denklemi yazalım: $5 = \frac{2 + y_2 + y_3}{3}$
- Denklemin her iki tarafını $3$ ile çarpalım: $5 \times 3 = 2 + y_2 + y_3$
- Bu durumda $15 = 2 + y_2 + y_3$ olur.
- Şimdi $y_2 + y_3$ değerini bulmak için $2$'yi eşitliğin diğer tarafına atalım: $y_2 + y_3 = 15 - 2$
- Sonuç olarak $y_2 + y_3 = 13$ bulunur.
- Diğer İki Köşenin Koordinatları Toplamını Belirleyelim:
- Bulduğumuz $x_2 + x_3 = 8$ ve $y_2 + y_3 = 13$ değerlerini bir araya getirdiğimizde, diğer iki köşenin koordinatları toplamı $(8, 13)$ noktasıdır.
- Seçeneklerle Karşılaştıralım:
- Bulduğumuz $(8, 13)$ değeri, seçeneklerdeki A) $(8,13)$ ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
