Üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları Test 2

Bir üçgenin ağırlık merkezi G(2,3) noktasıdır. İki köşesi A(-1,1) ve B(3,5) olduğuna göre, üçüncü köşe C'nin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

A) (4,3)
B) (5,4)
C) (6,5)
D) (7,6)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle bir üçgenin ağırlık merkezi ve köşe koordinatları arasındaki ilişkiyi kullanarak bir problem çözeceğiz. Bu tür problemler, analitik geometri konularının temel taşlarından biridir ve mantığını kavradığınızda oldukça kolaylaşır. Haydi, adım adım ilerleyelim!

• 1. Ağırlık Merkezi Formülünü Hatırlayalım:

  Bir üçgenin köşeleri $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ ve $C(x_C, y_C)$ ise, ağırlık merkezi $G(G_x, G_y)$'nin koordinatları şu formüllerle bulunur:

  • $G_x = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$
  • $G_y = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$

  Bu formüller, üçgenin köşelerinin x ve y koordinatlarının aritmetik ortalamasını alarak ağırlık merkezinin koordinatlarını bulduğumuzu gösterir.

• 2. Bilinen Değerleri Yerine Yazalım ve $x_C$ Koordinatını Bulalım:

  Soruda bize verilen değerler şunlardır:

  • Ağırlık merkezi $G(2,3)$, yani $G_x = 2$ ve $G_y = 3$.
  • Birinci köşe $A(-1,1)$, yani $x_A = -1$ ve $y_A = 1$.
  • İkinci köşe $B(3,5)$, yani $x_B = 3$ ve $y_B = 5$.

  Şimdi $G_x$ formülünü kullanarak üçüncü köşe $C$'nin $x$ koordinatını ($x_C$) bulalım:

  $G_x = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$

  $2 = \frac{-1 + 3 + x_C}{3}$

  $2 = \frac{2 + x_C}{3}$

  Denklemi çözmek için her iki tarafı $3$ ile çarpalım:

  $2 \times 3 = 2 + x_C$

  $6 = 2 + x_C$

  $x_C = 6 - 2$

  $x_C = 4$

• 3. Bilinen Değerleri Yerine Yazalım ve $y_C$ Koordinatını Bulalım:

  Şimdi de $G_y$ formülünü kullanarak üçüncü köşe $C$'nin $y$ koordinatını ($y_C$) bulalım:

  $G_y = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$

  $3 = \frac{1 + 5 + y_C}{3}$

  $3 = \frac{6 + y_C}{3}$

  Denklemi çözmek için her iki tarafı $3$ ile çarpalım:

  $3 \times 3 = 6 + y_C$

  $9 = 6 + y_C$

  $y_C = 9 - 6$

  $y_C = 3$

• 4. Üçüncü Köşe C'nin Koordinatlarını Belirleyelim:

  Yaptığımız hesaplamalar sonucunda $x_C = 4$ ve $y_C = 3$ bulduk. O halde, üçüncü köşe $C$'nin koordinatları $C(4,3)$'tür.

• 5. Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz $C(4,3)$ koordinatlarını verilen seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneğinin $(4,3)$ olduğunu görüyoruz.

Cevap A seçeneğidir.