Vektörlerin dikliği (İç çarpım = 0) Test 1

$\vec{r} = (3, -2, 1)$ ve $\vec{s} = (1, k, -2)$ vektörleri arasındaki açı 90° olduğuna göre, k'nin değeri nedir?

A) 1/2
B) -1/2
C) 2
D) -2

Sevgili öğrenciler, bu soruda iki vektör arasındaki açının $90^\circ$ olduğu bilgisi verilmiş ve bizden bilinmeyen bir katsayıyı bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözerken vektörlerin diklik (ortogonallik) koşulunu hatırlamamız çok önemlidir.

• Adım 1: Vektörlerin Diklik Koşulunu Hatırlayalım

  İki vektörün birbirine dik (yani aralarındaki açı $90^\circ$) olması durumunda, bu iki vektörün skaler çarpımı (nokta çarpımı) sıfıra eşittir. Bu, vektörler konusunda bilmemiz gereken en temel ve önemli kurallardan biridir.

  Matematiksel olarak, eğer $\vec{a}$ ve $\vec{b}$ vektörleri dik ise, o zaman $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ olur.

• Adım 2: Skaler Çarpım Formülünü Uygulayalım

  Verilen vektörlerimiz $\vec{r} = (3, -2, 1)$ ve $\vec{s} = (1, k, -2)$. İki vektörün skaler çarpımı, karşılıklı bileşenlerinin çarpımlarının toplamıdır. Yani:

  $\vec{r} \cdot \vec{s} = (r_x \cdot s_x) + (r_y \cdot s_y) + (r_z \cdot s_z)$

  Şimdi bu formülü verilen vektörlerimize uygulayalım:

  $\vec{r} \cdot \vec{s} = (3 \cdot 1) + (-2 \cdot k) + (1 \cdot -2)$

• Adım 3: Skaler Çarpımı Hesaplayalım

  Yukarıdaki çarpımları gerçekleştirelim:

  $\vec{r} \cdot \vec{s} = 3 + (-2k) + (-2)$

  $\vec{r} \cdot \vec{s} = 3 - 2k - 2$

  Şimdi bu ifadeyi sadeleştirelim:

  $\vec{r} \cdot \vec{s} = 1 - 2k$

• Adım 4: Diklik Koşulunu Kullanarak Denklemi Kuralım

  Adım 1'de öğrendiğimiz gibi, vektörler arasındaki açı $90^\circ$ olduğu için skaler çarpımları sıfır olmalıdır. Bu yüzden, hesapladığımız skaler çarpımı sıfıra eşitleyelim:

  $1 - 2k = 0$

• Adım 5: k Değerini Bulmak İçin Denklemi Çözelim

  Şimdi basit bir cebirsel denklemimiz var. $k$'yi yalnız bırakmak için denklemi çözelim:

  $1 - 2k = 0$

  $1 = 2k$

  Her iki tarafı $2$'ye bölelim:

  $k = \frac{1}{2}$

Buna göre, $k$'nin değeri $\frac{1}{2}$'dir.

Cevap A seçeneğidir.