Bir 30-60-90 üçgeninde en kısa kenar 7 cm ise, bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?
A) \(49\sqrt{3}\)Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için öncelikle 30-60-90 üçgeninin özelliklerini hatırlamamız gerekiyor. Bu özel üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi bildiğimizde, alanı bulmak çok kolay olacaktır.
Bir 30-60-90 üçgeninde açılar $30^\circ$, $60^\circ$ ve $90^\circ$'dir. Bu üçgenin kenar uzunlukları arasında belirli bir oran vardır:
• $30^\circ$'nin karşısındaki kenar uzunluğu $x$ ise,
• $60^\circ$'nin karşısındaki kenar uzunluğu $x\sqrt{3}$ olur.
• $90^\circ$'nin (hipotenüs) karşısındaki kenar uzunluğu ise $2x$ olur.
Bu üçgende en kısa kenar, $30^\circ$'nin karşısındaki kenardır.
Soruda bize en kısa kenarın 7 cm olduğu verilmiş. Bu durumda, $30^\circ$'nin karşısındaki kenar $x = 7$ cm'dir.
Şimdi diğer kenar uzunluklarını bulabiliriz:
• $60^\circ$'nin karşısındaki kenar (diğer dik kenar): $x\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$ cm.
• $90^\circ$'nin karşısındaki kenar (hipotenüs): $2x = 2 \times 7 = 14$ cm.
Üçgenimizin dik kenarları 7 cm ve $7\sqrt{3}$ cm'dir.
Bir dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısıdır. Yani, Alan $= \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}$ formülüyle bulunur. Dik üçgende dik kenarlar taban ve yükseklik olarak kabul edilebilir.
Bizim üçgenimizin dik kenarları 7 cm ve $7\sqrt{3}$ cm olduğuna göre, alanı şu şekilde hesaplarız:
Alan $= \frac{1}{2} \times 7 \times 7\sqrt{3}$
Alan $= \frac{49\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$
Bu durumda, üçgenin alanı $\frac{49\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
