Bir tekne nehirde akıntıyla aynı yönde 5 saatte, akıntıya karşı 7 saatte gidip gelebiliyor. Akıntının hızı 2 km/sa olduğuna göre, teknenin aldığı toplam yol kaç km'dir?
A) 110
B) 115
C) 120
D) 125
Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde bir teknenin nehirdeki hareketini inceleyeceğiz. Akıntı hızı ve farklı yönlerdeki seyahat süreleri verilmiş. Amacımız, teknenin aldığı toplam yolu bulmak. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Verilen Bilgileri Anlayalım ve Not Edelim:
- Teknenin akıntıyla aynı yönde (gidiş) harcadığı süre ($t_{gidiş}$): $5$ saat
- Teknenin akıntıya karşı (geliş) harcadığı süre ($t_{geliş}$): $7$ saat
- Akıntının hızı ($V_a$): $2$ km/sa
- Teknenin kendi hızı ($V_t$): Bilmiyoruz, bunu bulmamız gerekiyor.
- Teknenin gittiği tek yön mesafe ($D$): Gidiş ve geliş mesafeleri aynıdır, bunu da bulmamız gerekiyor.
- Bizden istenen: Teknenin aldığı toplam yol, yani $D_{gidiş} + D_{geliş} = 2D$.
- 2. Hız Formüllerini Oluşturalım:
- Bir cismin akıntıyla aynı yönde giderkenki hızı, kendi hızı ile akıntı hızının toplamıdır.
- Akıntıyla aynı yönde giderken teknenin hızı ($V_{gidiş}$): $V_{gidiş} = V_t + V_a$
- Bir cismin akıntıya karşı giderkenki hızı, kendi hızı ile akıntı hızının farkıdır.
- Akıntıya karşı gelirken teknenin hızı ($V_{geliş}$): $V_{geliş} = V_t - V_a$
- 3. Mesafe Formüllerini Yazalım:
- Mesafe, hız ile sürenin çarpımına eşittir ($Mesafe = Hız \times Süre$).
- Gidiş mesafesi ($D$): $D = V_{gidiş} \times t_{gidiş} = (V_t + V_a) \times 5$
- Geliş mesafesi ($D$): $D = V_{geliş} \times t_{geliş} = (V_t - V_a) \times 7$
- 4. Denklemleri Kuralım ve Teknenin Kendi Hızını ($V_t$) Bulalım:
- Teknenin gittiği ve geldiği mesafe aynı olduğu için, iki mesafe denklemini birbirine eşitleyebiliriz:
- $(V_t + V_a) \times 5 = (V_t - V_a) \times 7$
- Şimdi akıntının hızı $V_a = 2$ km/sa değerini bu denkleme yerleştirelim:
- $(V_t + 2) \times 5 = (V_t - 2) \times 7$
- Denklemi açalım ve $V_t$ değerini bulmak için çözelim:
- $5V_t + 10 = 7V_t - 14$
- $10 + 14 = 7V_t - 5V_t$
- $24 = 2V_t$
- $V_t = 12$ km/sa
- Yani, teknenin kendi hızı $12$ km/sa'dir.
- 5. Gidilen Tek Yön Mesafeyi ($D$) Bulalım:
- Teknenin kendi hızını ($V_t = 12$ km/sa) ve akıntı hızını ($V_a = 2$ km/sa) kullanarak tek yön mesafeyi hesaplayabiliriz. Gidiş veya geliş denklemlerinden birini kullanabiliriz:
- Gidiş mesafesi için: $D = (V_t + V_a) \times 5 = (12 + 2) \times 5 = 14 \times 5 = 70$ km
- Kontrol etmek için geliş mesafesini de hesaplayalım: $D = (V_t - V_a) \times 7 = (12 - 2) \times 7 = 10 \times 7 = 70$ km
- Görüldüğü gibi, tek yön mesafe $70$ km'dir.
- 6. Toplam Yolu Bulalım:
- Tekne gidip geldiği için aldığı toplam yol, gidiş mesafesi ile geliş mesafesinin toplamıdır:
- Toplam Yol = $D_{gidiş} + D_{geliş} = 70 + 70 = 140$ km
Cevap C seçeneğidir.
