Bir tekne akıntı hızının 2 km/sa olduğu bir nehirde, akıntıyla aynı yönde 30 km gidip aynı yolu geri dönüyor. Gidiş dönüş toplam 8 saat sürdüğüne göre, teknenin durgun sudaki hızı kaç km/sa'tir?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, bir teknenin akıntılı bir nehirde yaptığı gidiş dönüş yolculuğunu inceliyoruz. Teknenin durgun sudaki hızını bulmak için hız, mesafe ve zaman arasındaki ilişkiyi kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Verilenleri ve İstenenleri Belirleyelim:
- Akıntı hızı ($V_a$): $2$ km/sa
- Gidilen mesafe (tek yön) ($D$): $30$ km
- Toplam gidiş-dönüş süresi ($T_{toplam}$): $8$ saat
- İstenen: Teknenin durgun sudaki hızı ($V_t$)
- 2. Teknenin Akıntıyla ve Akıntıya Karşı Hızlarını Tanımlayalım:
- Tekne akıntıyla aynı yönde giderken hızı artar. Bu hıza akıntı yönündeki hız diyelim: $V_{akıntı\_yönü} = V_t + V_a$.
- Yani, $V_{akıntı\_yönü} = V_t + 2$ km/sa.
- Tekne akıntıya karşı yönde giderken hızı azalır. Bu hıza akıntıya karşı hız diyelim: $V_{akıntı\_karşı} = V_t - V_a$.
- Yani, $V_{akıntı\_karşı} = V_t - 2$ km/sa.
- 3. Gidiş ve Dönüş Sürelerini Hesaplayalım:
- Zaman = Mesafe / Hız formülünü kullanacağız.
- Gidiş süresi ($T_{gidiş}$): Tekne akıntıyla aynı yönde gittiği için, $T_{gidiş} = \frac{D}{V_{akıntı\_yönü}} = \frac{30}{V_t + 2}$ saat.
- Dönüş süresi ($T_{dönüş}$): Tekne akıntıya karşı yönde döndüğü için, $T_{dönüş} = \frac{D}{V_{akıntı\_karşı}} = \frac{30}{V_t - 2}$ saat.
- 4. Toplam Süre Denklemini Kuralım:
- Bize toplam sürenin $8$ saat olduğu verilmiş. Bu durumda: $T_{gidiş} + T_{dönüş} = T_{toplam}$.
- Denklemimiz şu şekilde olur: $\frac{30}{V_t + 2} + \frac{30}{V_t - 2} = 8$.
- 5. Denklemi Çözelim:
- Önce kesirleri toplayalım. Paydaları eşitlemek için birinci kesri $(V_t - 2)$ ile, ikinci kesri $(V_t + 2)$ ile genişletelim:
- $\frac{30(V_t - 2)}{(V_t + 2)(V_t - 2)} + \frac{30(V_t + 2)}{(V_t - 2)(V_t + 2)} = 8$
- Payları toplayalım ve paydaları çarpalım (iki kare farkı özdeşliği: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$):
- $\frac{30V_t - 60 + 30V_t + 60}{V_t^2 - 2^2} = 8$
- $\frac{60V_t}{V_t^2 - 4} = 8$
- Şimdi içler dışlar çarpımı yapalım:
- $60V_t = 8(V_t^2 - 4)$
- $60V_t = 8V_t^2 - 32$
- Denklemi bir tarafta toplayarak ikinci dereceden bir denklem elde edelim:
- $8V_t^2 - 60V_t - 32 = 0$
- Denklemi sadeleştirmek için her terimi $4$'e bölelim:
- $2V_t^2 - 15V_t - 8 = 0$
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlara ayırarak veya diskriminant (delta) formülüyle çözebiliriz. Çarpanlara ayıralım:
- $(2V_t + 1)(V_t - 8) = 0$
- Buradan iki olası çözüm çıkar:
- $2V_t + 1 = 0 \Rightarrow 2V_t = -1 \Rightarrow V_t = -\frac{1}{2}$
- $V_t - 8 = 0 \Rightarrow V_t = 8$
- Hız negatif olamayacağı için, teknenin durgun sudaki hızı $V_t = 8$ km/sa olmalıdır.
- 6. Cevabı Kontrol Edelim:
- Eğer $V_t = 8$ km/sa ise:
- Akıntı yönündeki hız: $8 + 2 = 10$ km/sa.
- Akıntıya karşı hız: $8 - 2 = 6$ km/sa.
- Gidiş süresi: $\frac{30}{10} = 3$ saat.
- Dönüş süresi: $\frac{30}{6} = 5$ saat.
- Toplam süre: $3 + 5 = 8$ saat. Bu, soruda verilen toplam süreye eşittir. Yani cevabımız doğru!
Teknenin durgun sudaki hızı $8$ km/sa'tir.
Cevap B seçeneğidir.
