Mutlak değer özellikleri Test 2

|x-3| + |x+2| ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) 0
B) 2
C) 5
D) 7

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, mutlak değer içeren bir ifadenin alabileceği en küçük değeri bulmamız isteniyor. Mutlak değerin ne anlama geldiğini ve sayı doğrusu üzerindeki uzaklıkla ilişkisini hatırlayarak bu tür soruları çok daha kolay çözebiliriz.

• Adım 1: Mutlak Değer İfadesini Anlayalım

  Öncelikle mutlak değerin tanımını hatırlayalım: Bir sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusu üzerinde 0'a olan uzaklığını ifade eder. Örneğin, $|-5|$ ifadesi -5'in 0'a olan uzaklığıdır ve bu da 5'tir.

  Daha genel olarak, $|a-b|$ ifadesi, $a$ sayısı ile $b$ sayısı arasındaki uzaklığı temsil eder. Bu bilgiyi sorumuzdaki ifadeye uygulayalım:

  • $|x-3|$ ifadesi, $x$ sayısının 3'e olan uzaklığını gösterir.
  • $|x+2|$ ifadesini ise $x-(-2)$ şeklinde yazabiliriz. Bu da $x$ sayısının -2'ye olan uzaklığını gösterir.

  Yani, sorumuz aslında sayı doğrusu üzerindeki bir $x$ noktasının 3'e olan uzaklığı ile -2'ye olan uzaklığının toplamının en küçük değerini bulmamızı istiyor.

• Adım 2: Geometrik Yorumlama ile En Küçük Değeri Bulalım

  Şimdi sayı doğrusunu gözümüzde canlandıralım. Sayı doğrusu üzerinde -2 ve 3 noktalarını işaretleyelim.

  Bizden istenen, bir $x$ noktasının -2'ye olan uzaklığı ile 3'e olan uzaklığının toplamının en küçük olmasıdır. Bu toplamın en küçük olabilmesi için $x$ noktasının -2 ile 3 arasında bir yerde olması gerekir.

  Eğer $x$ noktası -2 ile 3 arasında herhangi bir yerdeyse (örneğin $x=0$, $x=1$, $x=2.5$ gibi), $x$'in -2'ye olan uzaklığı ile $x$'in 3'e olan uzaklığının toplamı, tam olarak -2 ile 3 noktaları arasındaki toplam uzaklığa eşit olacaktır.

  Örneğin, $x=0$ noktasını alalım:

  • $x$'in 3'e uzaklığı: $|0-3| = |-3| = 3$ birim.
  • $x$'in -2'ye uzaklığı: $|0-(-2)| = |0+2| = |2| = 2$ birim.
  • Toplam uzaklık: $3+2=5$ birim.

  Peki, $x$ noktası -2'nin solunda veya 3'ün sağında olsaydı ne olurdu? Örneğin, $x=-3$ noktasını alalım:

  • $x$'in 3'e uzaklığı: $|-3-3| = |-6| = 6$ birim.
  • $x$'in -2'ye uzaklığı: $|-3-(-2)| = |-3+2| = |-1| = 1$ birim.
  • Toplam uzaklık: $6+1=7$ birim. (Gördüğümüz gibi 5'ten büyük oldu.)

  Bu durum, $x$ noktası -2 ile 3 arasında olduğunda uzaklıkların toplamının en küçük olacağını açıkça gösterir. Bu en küçük değer de -2 ile 3 noktaları arasındaki uzaklığın kendisidir.

• Adım 3: En Küçük Değeri Hesaplayalım

  -2 ile 3 noktaları arasındaki uzaklığı bulmak için büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarıp mutlak değerini alırız:

  $|3 - (-2)| = |3+2| = |5| = 5$

  Dolayısıyla, $|x-3| + |x+2|$ ifadesinin alabileceği en küçük değer 5'tir.

Cevap C seçeneğidir.