Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, mutlak değer kavramını ve özelliklerini daha iyi anlamak için harika bir soru çözeceğiz. Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve bu uzaklık asla negatif olamaz. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim ve hangi ifadenin her zaman doğru olduğunu bulalım.
- A) $|a| + |b| = |a+b|$
- Bu ifade her zaman doğru değildir. Genellikle üçgen eşitsizliği olarak bilinen $|a+b| \le |a| + |b|$ ifadesi doğrudur. Eşitlik durumu, $a$ ve $b$ sayılarının aynı işaretli olması veya en az birinin sıfır olması durumunda geçerlidir.
- Örnek: $a=2$ ve $b=-3$ alalım.
- $|a| + |b| = |2| + |-3| = 2 + 3 = 5$
- $|a+b| = |2 + (-3)| = |-1| = 1$
- Gördüğünüz gibi, $5 \ne 1$. Bu nedenle, bu ifade her zaman doğru değildir.
- B) $|a| - |b| = |a-b|$
- Bu ifade de her zaman doğru değildir.
- Örnek: $a=2$ ve $b=3$ alalım.
- $|a| - |b| = |2| - |3| = 2 - 3 = -1$
- $|a-b| = |2 - 3| = |-1| = 1$
- Gördüğünüz gibi, $-1 \ne 1$. Bu nedenle, bu ifade her zaman doğru değildir.
- C) $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$
- Bu ifade, mutlak değerin temel özelliklerinden biridir ve her zaman doğrudur. Bir çarpımın mutlak değeri, çarpanların mutlak değerlerinin çarpımına eşittir.
- Bunu farklı durumlar için inceleyelim:
- Durum 1: $a$ ve $b$ pozitif sayılar olsun. (Örn: $a=2, b=3$)
- $|a \cdot b| = |2 \cdot 3| = |6| = 6$
- $|a| \cdot |b| = |2| \cdot |3| = 2 \cdot 3 = 6$
- Eşitlik sağlandı.
- Durum 2: $a$ pozitif, $b$ negatif sayı olsun. (Örn: $a=2, b=-3$)
- $|a \cdot b| = |2 \cdot (-3)| = |-6| = 6$
- $|a| \cdot |b| = |2| \cdot |-3| = 2 \cdot 3 = 6$
- Eşitlik sağlandı.
- Durum 3: $a$ ve $b$ negatif sayılar olsun. (Örn: $a=-2, b=-3$)
- $|a \cdot b| = |(-2) \cdot (-3)| = |6| = 6$
- $|a| \cdot |b| = |-2| \cdot |-3| = 2 \cdot 3 = 6$
- Eşitlik sağlandı.
- Durum 4: $a$ veya $b$'den biri (ya da ikisi) sıfır olsun. (Örn: $a=0, b=5$)
- $|a \cdot b| = |0 \cdot 5| = |0| = 0$
- $|a| \cdot |b| = |0| \cdot |5| = 0 \cdot 5 = 0$
- Eşitlik sağlandı.
- Tüm durumlarda eşitlik sağlandığı için bu ifade her zaman doğrudur.
- D) $|a/b| = a/|b|$
- Bu ifade de her zaman doğru değildir. (Unutmayın, $b \ne 0$ olmalıdır.)
- Mutlak değerin tanımına göre, $|a/b|$ ifadesinin sonucu her zaman pozitif veya sıfır olmalıdır. Ancak $a/|b|$ ifadesinin sonucu $a$ negatif olduğunda negatif olabilir.
- Örnek: $a=-4$ ve $b=2$ alalım.
- $|a/b| = |-4/2| = |-2| = 2$
- $a/|b| = -4/|2| = -4/2 = -2$
- Gördüğünüz gibi, $2 \ne -2$. Bu nedenle, bu ifade her zaman doğru değildir.
Yukarıdaki analizlerden de anlaşıldığı gibi, sadece C seçeneğindeki ifade her zaman doğrudur.
Cevap C seçeneğidir.
