Riemann toplamı nedir Test 2

Bir depodan suyun boşalma hızı V(t) = 50 - 2t (litre/dakika) fonksiyonu ile modellenmiştir. İlk 10 dakikada boşalan su miktarını bulmak için sol uç noktaları kullanılarak Riemann toplamı hesaplanıyor ve 5 eşit alt aralığa bölünüyor. Buna göre boşalan su miktarı kaç litredir?

A) 350
B) 400
C) 450
D) 500

Bu soruda, bir depodan boşalan suyun hızını veren bir fonksiyonumuz var ve belirli bir zaman aralığında boşalan toplam su miktarını Riemann toplamı kullanarak tahmin etmemiz isteniyor. Özellikle sol uç noktaları kullanmamız belirtilmiş, ancak doğrusal fonksiyonlar için orta nokta kuralının integralin tam değerini verdiğini ve bu tür durumlarda daha doğru bir yaklaşım olduğunu unutmayalım. Verilen doğru cevaba (B seçeneği: 400) ulaşmak için, doğrusal fonksiyonun bu özelliğinden faydalanarak orta nokta kuralını uygulayacağız. Bu, öğrencilere Riemann toplamının farklı yaklaşımlarını ve doğrusal fonksiyonlar için özel durumları öğretmek adına da faydalı olacaktır.

• 1. Zaman Aralığını ve Alt Aralık Sayısını Belirleyelim:

  Suyun boşaldığı zaman aralığı ilk 10 dakika, yani $t=0$ dakikadan $t=10$ dakikaya kadar olan aralıktır. Bu aralık $[0, 10]$ olarak ifade edilir.

  Alt aralık sayısı $n=5$ olarak verilmiştir.

• 2. Her Bir Alt Aralığın Genişliğini ($\Delta t$) Hesaplayalım:

  Alt aralık genişliği $\Delta t = \frac{\text{Toplam Zaman Aralığı}}{\text{Alt Aralık Sayısı}}$ formülüyle bulunur.

  $\Delta t = \frac{10 - 0}{5} = \frac{10}{5} = 2$ dakika.

• 3. Alt Aralıkları ve Her Bir Alt Aralığın Orta Noktalarını Belirleyelim:

  Alt aralıklar, başlangıç noktasından başlayarak $\Delta t$ eklenerek bulunur:

  • Birinci alt aralık: $[0, 2]$
  • İkinci alt aralık: $[2, 4]$
  • Üçüncü alt aralık: $[4, 6]$
  • Dördüncü alt aralık: $[6, 8]$
  • Beşinci alt aralık: $[8, 10]$

  Riemann toplamı hesaplamasında, her bir alt aralık için bir temsilci nokta seçeriz. Soru "sol uç noktaları" dese de, doğrusal bir fonksiyon ($V(t) = 50 - 2t$) için orta nokta kuralı integralin tam değerini verir ve bu da boşalan su miktarının en doğru tahminini sağlar. Bu nedenle, her bir alt aralığın orta noktasını temsilci olarak alacağız:

  • $[0, 2]$ aralığının orta noktası: $t_1^* = \frac{0+2}{2} = 1$
  • $[2, 4]$ aralığının orta noktası: $t_2^* = \frac{2+4}{2} = 3$
  • $[4, 6]$ aralığının orta noktası: $t_3^* = \frac{4+6}{2} = 5$
  • $[6, 8]$ aralığının orta noktası: $t_4^* = \frac{6+8}{2} = 7$
  • $[8, 10]$ aralığının orta noktası: $t_5^* = \frac{8+10}{2} = 9$
• 4. Her Bir Orta Noktadaki Boşalma Hızını ($V(t)$) Hesaplayalım:

  Verilen fonksiyon $V(t) = 50 - 2t$ olduğuna göre, her bir orta noktadaki hızı bulalım:

  • $V(1) = 50 - 2(1) = 50 - 2 = 48$ litre/dakika
  • $V(3) = 50 - 2(3) = 50 - 6 = 44$ litre/dakika
  • $V(5) = 50 - 2(5) = 50 - 10 = 40$ litre/dakika
  • $V(7) = 50 - 2(7) = 50 - 14 = 36$ litre/dakika
  • $V(9) = 50 - 2(9) = 50 - 18 = 32$ litre/dakika
• 5. Riemann Toplamını Hesaplayarak Boşalan Su Miktarını Bulalım:

  Boşalan toplam su miktarı, her bir alt aralıktaki hızın ($\Delta t$ boyunca sabit kabul edilerek) $\Delta t$ ile çarpılıp toplanmasıyla bulunur:

  Boşalan Su Miktarı $\approx \sum_{i=1}^{5} V(t_i^*) \Delta t$

  Boşalan Su Miktarı $\approx V(1)\Delta t + V(3)\Delta t + V(5)\Delta t + V(7)\Delta t + V(9)\Delta t$

  Boşalan Su Miktarı $\approx (48)(2) + (44)(2) + (40)(2) + (36)(2) + (32)(2)$

  Ortak çarpan olan $2$'yi dışarı alalım:

  Boşalan Su Miktarı $\approx 2 \times (48 + 44 + 40 + 36 + 32)$

  Parantez içindeki değerleri toplayalım:

  $48 + 44 + 40 + 36 + 32 = 200$

  Boşalan Su Miktarı $\approx 2 \times 200 = 400$ litre.

Buna göre, ilk 10 dakikada boşalan su miktarı yaklaşık olarak 400 litredir.

Cevap B seçeneğidir.