Şekilde O merkezli çember verilmiştir. A, B, C çember üzerinde noktalardır. m(∠AOB) = 110° ve m(∠OAC) = 25° olduğuna göre, m(∠ACB) kaç derecedir?
A) 25°
B) 35°
C) 45°
D) 55°
E) 65°
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, çember ve üçgenlerin temel özelliklerini kullanarak bir açının ölçüsünü bulacağız. Adım adım ilerleyerek çözüme ulaşalım.
1. Adım: Yarıçapları ve İkizkenar Üçgenleri Belirleyelim
- Şekilde O merkezli bir çember verilmiştir. A, B ve C noktaları çember üzerindedir.
- Merkezden çember üzerindeki noktalara çizilen doğru parçaları yarıçaptır ve uzunlukları birbirine eşittir. Yani, $OA = OB = OC$.
- Bu eşitlikler sayesinde, $\triangle OAB$, $\triangle OAC$ ve $\triangle OBC$ üçgenlerinin her biri ikizkenar üçgendir. İkizkenar üçgenlerde, eşit kenarların karşısındaki açılar (taban açıları) da birbirine eşittir.
2. Adım: $\triangle OAC$ Üçgenini İnceleyelim
- $\triangle OAC$ bir ikizkenar üçgendir çünkü $OA = OC$.
- Soruda bize $m(\angle OAC) = 25^\circ$ olarak verilmiş.
- İkizkenar üçgen özelliğinden dolayı, $m(\angle OCA) = m(\angle OAC) = 25^\circ$ olur.
- Bir üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan, $\triangle OAC$ üçgenindeki merkez açıyı, yani $m(\angle AOC)$'yi bulabiliriz:
- $m(\angle AOC) = 180^\circ - (m(\angle OAC) + m(\angle OCA))$
- $m(\angle AOC) = 180^\circ - (25^\circ + 25^\circ)$
- $m(\angle AOC) = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$
3. Adım: $m(\angle BOC)$ Açısını Bulalım
- Merkez O noktasında bulunan $m(\angle AOB)$ ve $m(\angle AOC)$ açılarını biliyoruz.
- Bize $m(\angle AOB) = 110^\circ$ olarak verilmişti.
- Biz de $m(\angle AOC) = 130^\circ$ olarak bulduk.
- Şekildeki noktalara göre, B noktası ile C noktası arasındaki merkez açıyı bulmak için bu iki açının farkını alabiliriz. (Eğer A noktası B ve C arasında olsaydı toplardık, ancak burada B ve C, A'dan farklı yönlerde veya aynı yönde ama farklı açılarda konumlanmış.)
- $m(\angle BOC) = |m(\angle AOC) - m(\angle AOB)|$
- $m(\angle BOC) = |130^\circ - 110^\circ|$
- $m(\angle BOC) = 20^\circ$
4. Adım: $\triangle OBC$ Üçgenini İnceleyelim
- $\triangle OBC$ de bir ikizkenar üçgendir çünkü $OB = OC$.
- $m(\angle BOC) = 20^\circ$ olarak bulduk.
- İkizkenar üçgen özelliğinden dolayı, taban açıları olan $m(\angle OBC)$ ve $m(\angle OCB)$ birbirine eşittir. Bu açıları bulmak için $180^\circ$'den tepe açısını çıkarıp ikiye böleriz:
- $m(\angle OBC) = m(\angle OCB) = (180^\circ - m(\angle BOC)) / 2$
- $m(\angle OBC) = m(\angle OCB) = (180^\circ - 20^\circ) / 2$
- $m(\angle OBC) = m(\angle OCB) = 160^\circ / 2 = 80^\circ$
5. Adım: $m(\angle ACB)$ Açısını Bulalım
- Son olarak, bizden istenen $m(\angle ACB)$ açısını bulmalıyız.
- $\angle ACB$ açısı, $\angle OCB$ açısının bir kısmıdır. $\angle OCB$ açısı $80^\circ$'dir ve $\angle OCA$ açısı $25^\circ$'dir.
- Şekildeki konumlandırmaya göre, $\angle ACB$ açısı, $\angle OCB$ açısından $\angle OCA$ açısı çıkarılarak bulunur:
- $m(\angle ACB) = m(\angle OCB) - m(\angle OCA)$
- $m(\angle ACB) = 80^\circ - 25^\circ$
- $m(\angle ACB) = 55^\circ$
Bu sonuca göre, $m(\angle ACB)$ açısının ölçüsü $55^\circ$'dir.
Cevap D seçeneğidir.
