Koşullu olasılık formülü Test 1

Bir firmanın ürettiği telefonların %80'i A fabrikasında, %20'si B fabrikasında üretilmektedir. A fabrikasında üretilenlerin %5'i, B fabrikasında üretilenlerin ise %10'u kusurludur. Rastgele seçilen bir telefonun kusurlu olduğu bilindiğine göre, bu telefonun B fabrikasında üretilmiş olma olasılığı kaçtır?

A) \( \frac{1}{3} \)
B) \( \frac{2}{7} \)
C) \( \frac{3}{8} \)
D) \( \frac{4}{9} \)

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problem, koşullu olasılık ve Bayes Teoremi'ni kullanarak çözebileceğimiz harika bir örnektir. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• 1. Adım: Olayları ve Verilen Olasılıkları Tanımlayalım

  Öncelikle, problemdeki olayları ve bize verilen olasılıkları net bir şekilde tanımlayalım. Bu, problemi anlamanın ilk ve en önemli adımıdır.

  • $A$: Telefonun A fabrikasında üretilmesi olayı.
  • $B$: Telefonun B fabrikasında üretilmesi olayı.
  • $K$: Telefonun kusurlu olması olayı.

  Verilen olasılıklar:

  • Telefonların %80'i A fabrikasında üretiliyor: $P(A) = 0.80$
  • Telefonların %20'si B fabrikasında üretiliyor: $P(B) = 0.20$
  • A fabrikasında üretilenlerin %5'i kusurlu: $P(K|A) = 0.05$ (Bu, A fabrikasında üretildiği bilinen bir telefonun kusurlu olma olasılığıdır.)
  • B fabrikasında üretilenlerin %10'u kusurlu: $P(K|B) = 0.10$ (Bu, B fabrikasında üretildiği bilinen bir telefonun kusurlu olma olasılığıdır.)

  Bizden istenen ise, rastgele seçilen bir telefonun kusurlu olduğu bilindiğine göre, bu telefonun B fabrikasında üretilmiş olma olasılığıdır. Yani $P(B|K)$ değerini bulmalıyız.

• 2. Adım: Bir Telefonun Kusurlu Olma Genel Olasılığını ($P(K)$) Hesaplayalım

  Bir telefonun kusurlu olma olasılığı, hem A fabrikasından gelen kusurlu telefonları hem de B fabrikasından gelen kusurlu telefonları kapsar. Bu olasılığı, toplam olasılık formülü ile bulabiliriz:

  $P(K) = P(K \text{ ve } A) + P(K \text{ ve } B)$

  Veya koşullu olasılık tanımını kullanarak:

  $P(K) = P(K|A) \cdot P(A) + P(K|B) \cdot P(B)$

  Şimdi değerleri yerine koyalım:

  $P(K) = (0.05 \cdot 0.80) + (0.10 \cdot 0.20)$

  $P(K) = 0.04 + 0.02$

  $P(K) = 0.06$

  Yani, rastgele seçilen bir telefonun kusurlu olma olasılığı %6'dır.

• 3. Adım: Bayes Teoremi'ni Kullanarak İstenen Olasılığı ($P(B|K)$) Hesaplayalım

  Şimdi asıl sorumuza gelelim: Telefonun kusurlu olduğu bilindiğine göre, B fabrikasında üretilmiş olma olasılığı kaçtır? Bunun için Bayes Teoremi'ni kullanacağız:

  $P(B|K) = \frac{P(K|B) \cdot P(B)}{P(K)}$

  Hesapladığımız ve verilen değerleri formülde yerine yazalım:

  $P(B|K) = \frac{0.10 \cdot 0.20}{0.06}$

  $P(B|K) = \frac{0.02}{0.06}$

  Bu kesri sadeleştirelim:

  $P(B|K) = \frac{2}{6}$

  $P(B|K) = \frac{1}{3}$

  Böylece, kusurlu olduğu bilinen bir telefonun B fabrikasında üretilmiş olma olasılığını $ \frac{1}{3} $ olarak buluruz.

Cevap A seçeneğidir.