Koşullu olasılık formülü Test 1

Bir oyunda iki zar atılıyor. Zarlardan birinin 4 geldiği bilindiğine göre, zarların toplamının 7 olma olasılığı kaçtır?

A) \( \frac{1}{6} \)
B) \( \frac{2}{11} \)
C) \( \frac{1}{3} \)
D) \( \frac{5}{18} \)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problem, koşullu olasılık kavramını anlamamız için harika bir örnek. Yani, belirli bir olayın zaten gerçekleştiği bilgisi varken, başka bir olayın gerçekleşme olasılığını bulmaya çalışıyoruz. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Tüm olası durumları belirleyelim.

  İki zar atıldığında, her zar 1'den 6'ya kadar bir değer alabilir. Toplamda $6 \times 6 = 36$ farklı olası sonuç vardır. Bu sonuçları $(z_1, z_2)$ şeklinde gösterebiliriz, burada $z_1$ birinci zarın, $z_2$ ise ikinci zarın sonucudur.

  Örnek: $(1,1), (1,2), ..., (6,6)$.

• Adım 2: "Zarlardan birinin 4 geldiği" koşulunu sağlayan durumları bulalım.

  Bu, bizim yeni örnek uzayımız olacaktır. Yani, bu koşulun gerçekleştiği bilindiği için, sadece bu durumları dikkate alacağız. Bir zarın 4 geldiği durumlar şunlardır:

  • Birinci zar 4 ise: $(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)$
  • İkinci zar 4 ise: $(1,4), (2,4), (3,4), (5,4), (6,4)$ (Dikkat: $(4,4)$ zaten yukarıda sayıldığı için tekrar saymıyoruz.)

  Bu koşulu sağlayan toplam durum sayısı $6 + 5 = 11$'dir. Bu 11 durum bizim "bilinen" olayımızdır.

  Bu durumlar: $(1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,5), (4,6)$.

• Adım 3: "Zarların toplamının 7 olma" durumlarını belirleyelim.

  Şimdi, Adım 2'de belirlediğimiz 11 durum içinden, zarların toplamının 7 olduğu durumları bulmalıyız. Toplamı 7 olan tüm durumlar şunlardır:

  $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$

• Adım 4: Her iki koşulu da sağlayan durumları bulalım.

  Adım 2'deki 11 durum listesi ile Adım 3'teki toplamı 7 olan durumlar listesini karşılaştıralım. Hangi durumlar hem bir zarın 4 geldiği hem de toplamın 7 olduğu durumları içeriyor?

  • $(3,4)$ (Bir zar 4, toplam 7)
  • $(4,3)$ (Bir zar 4, toplam 7)

  Bu koşulları sağlayan toplam 2 durum vardır.

• Adım 5: Olasılığı hesaplayalım.

  Koşullu olasılık formülünü kullanabiliriz: $P(\text{A|B}) = \frac{\text{A ve B olaylarının birlikte gerçekleşme sayısı}}{\text{B olayının gerçekleşme sayısı}}$

  Burada:

  • "B olayı" (bilinen koşul): Zarlardan birinin 4 geldiği durumlar. Sayısı: 11 (Adım 2'den).
  • "A ve B olaylarının birlikte gerçekleşmesi": Zarlardan birinin 4 geldiği VE toplamın 7 olduğu durumlar. Sayısı: 2 (Adım 4'ten).

  O halde, olasılık: $P(\text{toplam 7 | bir zar 4}) = \frac{2}{11}$.

Cevap B seçeneğidir.