Türevin geometrik yorumu nedir Test 1

f(x) = x³ - 3x² + 2 fonksiyonunun grafiğine x = 2 noktasında çizilen teğetin eğimi kaçtır?

A) -1
B) 0
C) 1
D) 2

Sevgili öğrenciler, bir fonksiyonun grafiğine belirli bir noktada çizilen teğetin eğimini bulmak için türev alma kurallarını kullanırız. Teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevinin değerine eşittir. İşte adım adım çözümümüz:

• Adım 1: Fonksiyonun Türevini Bulma

Bir fonksiyonun grafiğine bir noktada çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türevinin değerine eşittir. Bu nedenle, öncelikle verilen $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ fonksiyonunun türevini ($f'(x)$) bulmalıyız.

Türev alma kurallarını hatırlayalım: $x^n$ teriminin türevi $nx^{n-1}$'dir ve sabit bir sayının türevi $0$'dır.

Bu kuralları uygulayarak $f(x)$'in türevini alalım:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(2)$

$f'(x) = 3x^{3-1} - 3 \cdot 2x^{2-1} + 0$

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

• Adım 2: Türev Fonksiyonunu $x = 2$ Noktasında Değerlendirme

Şimdi, bulduğumuz türev fonksiyonu $f'(x) = 3x^2 - 6x$ üzerinde, teğetin çizildiği $x = 2$ noktasını yerine koymalıyız. Bu bize teğetin eğimini verecektir.

$f'(2) = 3(2)^2 - 6(2)$

$f'(2) = 3(4) - 12$

$f'(2) = 12 - 12$

$f'(2) = 0$

• Adım 3: Sonucu Belirleme

Hesaplamalarımız sonucunda, $x = 2$ noktasında fonksiyonun türevinin $0$ olduğunu bulduk. Bu da teğetin eğiminin $0$ olduğu anlamına gelir. Eğimi $0$ olan bir teğet, yatay bir doğru demektir.

Cevap B seçeneğidir.