Türev tanımı (Limit yardımıyla) Test 1

f(x) = 5 (sabit fonksiyon) için türev limit tanımıyla hesaplandığında sonuç nedir?

A) 0
B) 5
C) 1
D) x

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, sabit bir fonksiyonun türevini limit tanımını kullanarak nasıl hesaplayacağımızı adım adım öğreneceğiz. Bu, türevin temelini anlamak için çok önemli bir adımdır.

• Türevin Limit Tanımını Hatırlayalım:

  Bir $f(x)$ fonksiyonunun türevi $f'(x)$, aşağıdaki limit tanımıyla verilir:

  $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

  Bu tanım, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki anlık değişim oranını bulmamızı sağlar.

• Verilen Fonksiyonu Belirleyelim:

  Sorumuzda bize verilen fonksiyon $f(x) = 5$'tir. Bu, $x$'in değerinden bağımsız olarak her zaman $5$ değerini alan bir sabit fonksiyondur.

• $f(x+h)$ Değerini Bulalım:

  Sabit bir fonksiyon olduğu için, $x$ yerine ne yazarsak yazalım fonksiyonun değeri değişmez. Dolayısıyla, $f(x+h)$ da $5$ olacaktır.

  • $f(x) = 5$
  • $f(x+h) = 5$
• Değerleri Türev Tanımında Yerine Koyalım:

  Şimdi bulduğumuz $f(x)$ ve $f(x+h)$ değerlerini türevin limit tanımındaki yerlerine yazalım:

  $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

  $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{5 - 5}{h}$

• İfadeyi Basitleştirelim:

  Pay kısmındaki çıkarma işlemini yapalım:

  $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h}$

  Burada dikkat etmemiz gereken şey, $h$ sıfıra yaklaşırken sıfır olmasa da, payın her zaman tam olarak sıfır olmasıdır. Sıfırın sıfır olmayan bir sayıya bölümü her zaman sıfırdır.

• Limiti Hesaplayalım:

  İfadeyi basitleştirdikten sonra elimizde kalan limit şudur:

  $f'(x) = \lim_{h \to 0} 0$

  Bir sabitin limiti, o sabitin kendisine eşittir. Bu durumda sabitimiz $0$'dır.

  $f'(x) = 0$

Bu sonuç bize, sabit bir fonksiyonun değişim oranının her zaman sıfır olduğunu gösterir. Yani, $f(x) = 5$ fonksiyonunun türevi $0$'dır.

Cevap A seçeneğidir.