Limit AYT Test 1

lim(x→1) (√(x+3) - 2)/(x-1) limitinin değeri kaçtır?

A) 1/2
B) 1/4
C) 1/6
D) 1/8
E) 0

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle $\lim_{x\to1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x-1}$ limitinin değerini adım adım bulacağız. Bu tür limit sorularında ilk yapmamız gereken, $x$ yerine limit değerini koyarak belirsizlik durumunu kontrol etmektir.

• Adım 1: Doğrudan Yerine Koyma ve Belirsizlik Kontrolü

  Öncelikle $x=1$ değerini ifadeye doğrudan yerleştirelim:

  • Pay: $\sqrt{1+3} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0$
  • Payda: $1 - 1 = 0$

  Gördüğümüz gibi, $\frac{0}{0}$ belirsizliği ile karşılaştık. Bu durum, ifadenin sadeleştirilmesi veya başka bir yöntemle çözülmesi gerektiğini gösterir.

• Adım 2: Eşlenikle Çarpma Yöntemi

  Pay kısmında köklü bir ifade olduğunda ve $\frac{0}{0}$ belirsizliği oluştuğunda, genellikle ifadenin eşleniği ile çarpma yöntemi kullanılır. Paydaki ifadenin eşleniği, aradaki işaretin tersi alınarak bulunur.

  • Paydaki ifade: $\sqrt{x+3} - 2$
  • Eşleniği: $\sqrt{x+3} + 2$

  Şimdi hem payı hem de paydayı bu eşlenik ile çarpalım:

  $\lim_{x\to1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x-1} \times \frac{\sqrt{x+3} + 2}{\sqrt{x+3} + 2}$

• Adım 3: Payı Sadeleştirme

  Hatırlayalım ki $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ özdeşliğini kullanabiliriz. Burada $a = \sqrt{x+3}$ ve $b = 2$'dir.

  Pay: $(\sqrt{x+3} - 2)(\sqrt{x+3} + 2) = (\sqrt{x+3})^2 - (2)^2 = (x+3) - 4 = x-1$

• Adım 4: İfadeyi Yeniden Yazma

  Şimdi limit ifadesini sadeleşmiş haliyle tekrar yazalım:

  $\lim_{x\to1} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)}$

• Adım 5: Ortak Çarpanları Sadeleştirme

  $x \to 1$ olduğu için $x \neq 1$ demektir, bu yüzden $(x-1)$ çarpanı sıfır değildir ve pay ile paydadan sadeleştirilebilir.

  $\lim_{x\to1} \frac{\cancel{x-1}}{\cancel{(x-1)}(\sqrt{x+3} + 2)} = \lim_{x\to1} \frac{1}{\sqrt{x+3} + 2}$

• Adım 6: Sadeleşmiş İfadenin Limitini Hesaplama

  Şimdi sadeleşmiş ifadede $x=1$ değerini yerine koyabiliriz, çünkü artık belirsizlik ortadan kalkmıştır:

  $\frac{1}{\sqrt{1+3} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$

Böylece limitin değerini $1/4$ olarak bulmuş olduk.

Cevap B seçeneğidir.