Mutlak değerli denklemler ve eşitsizlikler Test 1

|3x - 1| > 8 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

A) (-∞, -7/3) ∪ (3, ∞)
B) (-7/3, 3)
C) (-∞, -3) ∪ (7/3, ∞)
D) (-3, 7/3)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, mutlak değer içeren bir eşitsizliği nasıl çözeceğimizi adım adım öğreneceğiz. Sorumuz: $|3x - 1| > 8$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

• 1. Adım: Mutlak Değer Eşitsizliğinin Kuralını Hatırlayalım

  Genel olarak, eğer bir $a$ pozitif sayı olmak üzere $|u| > a$ şeklinde bir eşitsizliğimiz varsa, bu eşitsizlik iki ayrı eşitsizliğe ayrılır:

  • $u < -a$
  • veya
  • $u > a$

  Bizim sorumuzda $u = 3x - 1$ ve $a = 8$.

• 2. Adım: Eşitsizliği İki Ayrı Duruma Ayıralım

  Yukarıdaki kuralı uygulayarak, $|3x - 1| > 8$ eşitsizliğini iki ayrı eşitsizliğe dönüştürüyoruz:

  • Birinci Durum: $3x - 1 < -8$
  • İkinci Durum: $3x - 1 > 8$

• 3. Adım: Birinci Durumu Çözelim

  Şimdi $3x - 1 < -8$ eşitsizliğini $x$ için çözelim:

  • Eşitsizliğin her iki tarafına $1$ ekleyelim:
  • $3x - 1 + 1 < -8 + 1$
  • $3x < -7$
  • Her iki tarafı $3$'e bölelim (pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez):
  • $\frac{3x}{3} < \frac{-7}{3}$
  • $x < -\frac{7}{3}$
  • Bu, $(-\infty, -\frac{7}{3})$ aralığına karşılık gelir.

• 4. Adım: İkinci Durumu Çözelim

  Şimdi $3x - 1 > 8$ eşitsizliğini $x$ için çözelim:

  • Eşitsizliğin her iki tarafına $1$ ekleyelim:
  • $3x - 1 + 1 > 8 + 1$
  • $3x > 9$
  • Her iki tarafı $3$'e bölelim (pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez):
  • $\frac{3x}{3} > \frac{9}{3}$
  • $x > 3$
  • Bu, $(3, \infty)$ aralığına karşılık gelir.

• 5. Adım: Çözüm Kümelerini Birleştirelim

  Mutlak değer eşitsizliğinin çözüm kümesi, bulduğumuz bu iki aralığın birleşimidir. Yani, $x < -\frac{7}{3}$ veya $x > 3$.

  Interval (aralık) gösterimiyle bu, $(-\infty, -\frac{7}{3}) \cup (3, \infty)$ şeklinde ifade edilir.

Bu çözüm kümesi seçeneklere baktığımızda A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.