Bu tür köklü sayılarla yapılan işlemlerde, öncelikle her bir köklü sayıyı $a\sqrt{b}$ şeklinde en sade haline getirmemiz gerekir. Bu sayede, kök içindeki sayılar aynı olursa toplama ve çıkarma işlemlerini kolayca yapabiliriz.
- Adım 1: İlk terimi sadeleştirelim: $ \sqrt{200} $
- $200$ sayısının çarpanlarını düşünelim. İçinde tam kare bir sayı arıyoruz. $200 = 100 \times 2$ olduğunu görüyoruz. Burada $100$ bir tam karedir ($10^2$).
- Bu durumda, $ \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} $ şeklinde yazabiliriz.
- Kök dışına çıkarma kuralına göre, $ \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} $ olur.
- $ \sqrt{100} $ ifadesi $10$'a eşit olduğu için, $ \sqrt{200} $ terimi $ 10\sqrt{2} $ olarak sadeleşir.
- Adım 2: İkinci terimi sadeleştirelim: $ \sqrt{72} $
- Şimdi de $72$ sayısının çarpanlarına bakalım. İçinde tam kare bir sayı arıyoruz. $72 = 36 \times 2$ olduğunu fark ediyoruz. Burada $36$ bir tam karedir ($6^2$).
- Bu durumda, $ \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} $ şeklinde yazabiliriz.
- Yine kök dışına çıkarma kuralını uygulayarak, $ \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} $ olur.
- $ \sqrt{36} $ ifadesi $6$'ya eşit olduğu için, $ \sqrt{72} $ terimi $ 6\sqrt{2} $ olarak sadeleşir.
- Adım 3: Üçüncü terimi sadeleştirelim: $ \sqrt{50} $
- Son olarak $50$ sayısının çarpanlarını inceleyelim. İçinde tam kare bir sayı arıyoruz. $50 = 25 \times 2$ olduğunu görüyoruz. Burada $25$ bir tam karedir ($5^2$).
- Bu durumda, $ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} $ şeklinde yazabiliriz.
- Kök dışına çıkarma kuralını uygulayarak, $ \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} $ olur.
- $ \sqrt{25} $ ifadesi $5$'e eşit olduğu için, $ \sqrt{50} $ terimi $ 5\sqrt{2} $ olarak sadeleşir.
- Adım 4: Sadeleştirilmiş terimleri yerine yazalım ve işlemi yapalım.
- Şimdi başlangıçtaki ifademizi, bulduğumuz sadeleşmiş halleriyle tekrar yazalım:
- $ \sqrt{200} - \sqrt{72} + \sqrt{50} = 10\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 5\sqrt{2} $
- Gördüğünüz gibi, tüm terimlerin kök içi aynı ($ \sqrt{2} $) olduğu için, katsayılarını toplayıp çıkarabiliriz. Bu tıpkı $10x - 6x + 5x$ işlemini yapmak gibidir.
- $ (10 - 6 + 5)\sqrt{2} $
- Önce çıkarma işlemini yapalım: $ 10 - 6 = 4 $
- Sonra toplama işlemini yapalım: $ 4 + 5 = 9 $
- Böylece işlemin sonucu $ 9\sqrt{2} $ olarak bulunur.
Cevap C seçeneğidir.
