Sevgili öğrenciler, bu soruda $g(x) = \sin(4x^3)$ fonksiyonunun türevini bulmamız isteniyor. Bu tür bileşik fonksiyonların türevini alırken Zincir Kuralı'nı kullanırız.
- Zincir Kuralı Nedir? Eğer bir fonksiyon $y = f(u)$ şeklinde ve $u$ da başka bir fonksiyon $u = h(x)$ şeklinde ise, $y$'nin $x$'e göre türevi $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ formülü ile bulunur. Kısacası, dış fonksiyonun türevini alıp iç fonksiyonu aynen bırakırız, sonra da iç fonksiyonun türevi ile çarparız.
- Adım 1: Dış ve İç Fonksiyonları Belirleyelim. Fonksiyonumuz $g(x) = \sin(4x^3)$ için dış fonksiyon $\sin(u)$ ve iç fonksiyon $u = 4x^3$'tür.
- Adım 2: Dış Fonksiyonun Türevini Alalım (İç Fonksiyonu Değiştirmeden). Dış fonksiyonumuz $\sin(u)$'nun türevi $\cos(u)$'dur. İç fonksiyonu aynen bırakarak bu kısım $\cos(4x^3)$ olur.
- Adım 3: İç Fonksiyonun Türevini Alalım. İç fonksiyonumuz $u = 4x^3$'tür. Güç kuralını ($ (cx^n)' = cnx^{n-1} $) kullanarak türevini alırsak: $\frac{d}{dx}(4x^3) = 4 \cdot 3x^{3-1} = 12x^2$ buluruz.
- Adım 4: Zincir Kuralını Uygulayalım. Adım 2'de bulduğumuz dış fonksiyonun türevi ($\cos(4x^3)$) ile Adım 3'te bulduğumuz iç fonksiyonun türevini ($12x^2$) çarparız. Bu durumda $g'(x) = \cos(4x^3) \cdot 12x^2$ olur.
- Son olarak, ifadeyi daha düzenli bir şekilde yazarsak: $g'(x) = 12x^2\cos(4x^3)$ elde ederiz.
Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
