f(x) fonksiyonundan f(|x|) grafiğini çizme Test 1

f(x) = x + 1 fonksiyonu için f(|x|) grafiği aşağıdakilerden hangisidir?

A) V şeklinde bir grafik
B) Doğrusal ve sürekli artan bir grafik
C) x = 0'da kırılma noktası olan bir grafik
D) Parabolik bir grafik

Bugün, bir fonksiyonun grafiğini dönüştürme konusunu inceleyeceğiz. Bize verilen fonksiyon $f(x) = x + 1$ ve bizden $f(|x|)$ fonksiyonunun grafiği isteniyor.

• Adım 1: Fonksiyonu Anlayalım

  Öncelikle, bize verilen orijinal fonksiyon $f(x) = x + 1$ nedir? Bu, eğimi $1$ olan ve $y$-eksenini $1$ noktasında kesen doğrusal bir fonksiyondur. Yani, $y = x + 1$ doğrusudur.

• Adım 2: $f(|x|)$ Fonksiyonunu Oluşturalım

  Şimdi, $f(|x|)$ ne anlama geliyor? Bu, orijinal $f(x)$ fonksiyonundaki her $x$ yerine $|x|$ yazmamız gerektiği anlamına gelir. O halde, $f(|x|) = |x| + 1$ olur.

• Adım 3: Mutlak Değer Fonksiyonunu İnceleyelim

  Mutlak değer fonksiyonu $|x|$'in tanımını hatırlayalım:

  Eğer $x \ge 0$ ise, $|x| = x$ olur.

  Eğer $x < 0$ ise, $|x| = -x$ olur.

  Bu tanımı $f(|x|) = |x| + 1$ fonksiyonuna uygulayalım:

  Durum 1: $x \ge 0$ için:

  $f(|x|) = x + 1$. Bu durumda, fonksiyonumuz $y = x + 1$ doğrusudur. Bu doğru, $x=0$ noktasından başlayarak sağa doğru yukarıya gider. Örneğin, $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 3)$ noktalarından geçer.

  Durum 2: $x < 0$ için:

  $f(|x|) = -x + 1$. Bu durumda, fonksiyonumuz $y = -x + 1$ doğrusudur. Bu doğru, $x=0$ noktasından başlayarak sola doğru yukarıya gider. Örneğin, $(-1, 2)$, $(-2, 3)$ noktalarından geçer. Dikkat edin, $x=0$ noktasında $y = -0 + 1 = 1$ olur, yani her iki durum da $(0, 1)$ noktasında birleşir.

• Adım 4: Grafiği Çizelim ve Şeklini Belirleyelim

  Yukarıdaki iki durumu birleştirdiğimizde, $x \ge 0$ için $y = x + 1$ doğrusunun sağ kolu ile $x < 0$ için $y = -x + 1$ doğrusunun sol kolunun $(0, 1)$ noktasında birleştiğini görürüz. Bu birleşim, tam olarak bir "V" harfi şeklini oluşturur. Bu "V" şeklinin köşesi $(0, 1)$ noktasındadır.

• Adım 5: Seçenekleri Değerlendirelim

  A) V şeklinde bir grafik: Bu, bulduğumuz şekle tam olarak uymaktadır.

  B) Doğrusal ve sürekli artan bir grafik: Hayır, fonksiyon $x < 0$ için artan, $x > 0$ için de artan olsa da, tek bir doğru değildir ve $x=0$ noktasında eğimi değişir.

  C) x = 0'da kırılma noktası olan bir grafik: Bu ifade teknik olarak doğru olsa da (çünkü $x=0$ noktasında türev tanımsızdır ve grafikte keskin bir köşe vardır), "V şeklinde" ifadesi grafiğin genel formunu daha iyi tanımlar. Bir V şeklindeki grafik zaten bir kırılma noktasına sahiptir.

  D) Parabolik bir grafik: Hayır, parabolik grafikler genellikle $x^2$ terimi içeren fonksiyonlara aittir ve U şeklinde olurlar.

Bu analizler sonucunda, $f(|x|) = |x| + 1$ fonksiyonunun grafiğinin V şeklinde olduğunu açıkça görüyoruz.

Cevap A seçeneğidir.