Homojen trigonometrik denklemler Test 1

3sin²x - 4sinxcosx + cos²x = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) {x | x = π/6 + kπ, k ∈ Z}
B) {x | x = π/3 + kπ, k ∈ Z}
C) {x | x = π/4 + kπ, k ∈ Z}
D) {x | x = π/2 + kπ, k ∈ Z}

Trigonometrik Denklem Çözümü

Sevgili öğrenciler, bugün $3\sin^2x - 4\sin x \cos x + \cos^2x = 0$ denkleminin çözüm kümesini adım adım bulacağız. Bu tür denklemler, trigonometrik özdeşlikleri ve cebirsel çözüm yöntemlerini birleştirmemizi gerektirir. Hadi başlayalım!

• Adım 1: Denklemi Tanıma ve Dönüştürme

  Verilen denklem $3\sin^2x - 4\sin x \cos x + \cos^2x = 0$ şeklindedir. Bu, ikinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemdir. Bu tür denklemleri çözmek için en yaygın yöntem, denklemin her terimini $\cos^2x$ ile bölerek denklemi $\tan x$ cinsinden bir ifadeye dönüştürmektir.

  Ancak, bölme işlemi yapmadan önce $\cos x = 0$ durumunu kontrol etmeliyiz. Eğer $\cos x = 0$ ise, $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in Z$) olur ve bu durumda $\sin x = \pm 1$ olur. Bu değerleri orijinal denkleme yerleştirelim:

  $3(\pm 1)^2 - 4(\pm 1)(0) + (0)^2 = 0$

  $3(1) - 0 + 0 = 0$

  $3 = 0$

  Bu ifade bir çelişkidir. Bu, $\cos x = 0$ durumunun denklemin bir çözümü olmadığı anlamına gelir. Dolayısıyla, $\cos x \neq 0$ olduğundan, denklemin her terimini güvenle $\cos^2x$ ile bölebiliriz.

• Adım 2: Denklemi $\tan x$ Cinsinden Yazma

  Denklemin her terimini $\cos^2x$ ile bölelim:

  $\frac{3\sin^2x}{\cos^2x} - \frac{4\sin x \cos x}{\cos^2x} + \frac{\cos^2x}{\cos^2x} = \frac{0}{\cos^2x}$

  Şimdi temel trigonometrik özdeşlikleri kullanalım: $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ ve $\frac{\sin^2x}{\cos^2x} = \tan^2x$.

  $3\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 - 4\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) + 1 = 0$

  $3\tan^2x - 4\tan x + 1 = 0$

• Adım 3: İkinci Dereceden Denklemi Çözme

  Şimdi $\tan x$ için ikinci dereceden bir denklem elde ettik. Bu denklemi çözmek için $\tan x = t$ dönüşümünü yapabiliriz:

  $3t^2 - 4t + 1 = 0$

  Bu denklemi çarpanlara ayırma yöntemiyle çözebiliriz. Çarpımları $3 \times 1 = 3$ ve toplamları $-4$ olan iki sayı $-3$ ve $-1$'dir. Bu sayıları kullanarak denklemi yeniden yazalım:

  $3t^2 - 3t - t + 1 = 0$

  Ortak çarpan parantezine alalım:

  $3t(t - 1) - 1(t - 1) = 0$

  Ortak çarpan $(t-1)$ parantezine alalım:

  $(3t - 1)(t - 1) = 0$

  Bu denklemin iki olası çözümü vardır:

  • $3t - 1 = 0 \Rightarrow 3t = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{3}$
  • $t - 1 = 0 \Rightarrow t = 1$
• Adım 4: $\tan x$ Değerlerinden $x$ Değerlerini Bulma

  Şimdi $t = \tan x$ yerine koyarak $x$ değerlerini bulalım:

  • Durum 1: $\tan x = 1$

    Tanjant değeri $1$ olan temel açı $\frac{\pi}{4}$'tür. Tanjant fonksiyonunun periyodu $\pi$ olduğundan, genel çözüm şu şekildedir:

    $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, burada $k \in Z$ (tam sayılar kümesi).

  • Durum 2: $\tan x = \frac{1}{3}$

    Tanjant değeri $\frac{1}{3}$ olan açı özel bir açı değildir. Bu durumda, $\arctan$ (ark tanjant) fonksiyonunu kullanarak genel çözümü ifade ederiz:

    $x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + k\pi$, burada $k \in Z$.

• Adım 5: Çözüm Kümesini Belirleme

  Denklemin çözüm kümesi, bulduğumuz tüm $x$ değerlerini içerir:

  $Ç = \left\{x \mid x = \frac{\pi}{4} + k\pi \text{ veya } x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + k\pi, k \in Z\right\}$

  Verilen seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz çözümlerden biri olan $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$ seçeneği C'de bulunmaktadır.

Cevap B seçeneğidir.