Aralıklarda birleşim kesişim işlemleri örnekleri Test 1

3. E = {x | -2 < x ≤ 3, x ∈ R} ve F = {x | 1 ≤ x < 5, x ∈ R} kümeleri veriliyor. E ∩ F kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) Sonsuz
B) 4
C) 3
D) 2

Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim:

• Adım 1: Kümeleri Anlama

Öncelikle kümelerin ne anlama geldiğini anlamamız gerekiyor. Kümelerimiz şu şekilde tanımlanmış:

• $E = \{x \mid -2 < x \leq 3, x \in R\}$: Bu, x'in -2'den büyük ve 3'e eşit veya küçük olduğu tüm reel sayıları içerir. Yani, -2 ile 3 arasındaki tüm sayılar (3 dahil, -2 hariç).
• $F = \{x \mid 1 \leq x < 5, x \in R\}$: Bu ise, x'in 1'e eşit veya büyük ve 5'ten küçük olduğu tüm reel sayıları içerir. Yani, 1 ile 5 arasındaki tüm sayılar (1 dahil, 5 hariç).
• Adım 2: Kesişimi Bulma (E ∩ F)

Kesişim (E ∩ F), her iki kümede de bulunan elemanları içerir. Yani, hem E kümesinde hem de F kümesinde olan x değerlerini bulmalıyız.

E kümesi -2'den büyük ve 3'e eşit veya küçük sayıları içeriyor. F kümesi ise 1'e eşit veya büyük ve 5'ten küçük sayıları içeriyor. Bu iki aralığı birleştirdiğimizde, kesişim şu şekilde olur:

En küçük değer: E kümesinde -2'den büyük sayılar var, F kümesinde ise 1'e eşit veya büyük sayılar var. Kesişim için en küçük değer 1 olmalı (çünkü 1, -2'den de büyük).

En büyük değer: E kümesinde 3'e eşit veya küçük sayılar var, F kümesinde ise 5'ten küçük sayılar var. Kesişim için en büyük değer 3 olmalı (çünkü 3, 5'ten de küçük ve E kümesinde 3'e eşit olabiliyor).

Bu durumda, $E \cap F = \{x \mid 1 \leq x \leq 3, x \in R\}$ olur.

• Adım 3: Eleman Sayısını Belirleme

$E \cap F$ kümesi, 1 ile 3 arasındaki tüm reel sayıları içerir. Reel sayılar sonsuz olduğu için, bu kümenin de sonsuz sayıda elemanı vardır. Örneğin, 1.1, 1.01, 1.001, 2, 2.5, 2.999 gibi sonsuz sayıda sayı bu kümenin içindedir.

Cevap A seçeneğidir.