6. Gerçek sayılar kümesinde A = (-∞, 2), B = [-1, 4] ve C = (3, ∞) kümeleri tanımlanıyor. (A ∪ B) ∩ C kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (3, 4]
B) [3, 4]
C) (3, 4)
D) (2, 4]
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, gerçek sayılar kümesinde tanımlanmış üç farklı aralık kümesi verilmiş ve bu kümeler üzerinde birleşim ve kesişim işlemleri yapmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek doğru cevabı bulalım.
- 1. Adım: Verilen Kümeleri Tanıyalım
- Öncelikle, bize verilen kümelerin ne anlama geldiğini netleştirelim:
- $A = (-\infty, 2)$: Bu küme, 2'den küçük tüm gerçek sayıları içerir. 2 sayısı bu kümeye dahil değildir. Sayı doğrusunda soldan $-\infty$'dan başlayıp 2'ye kadar gelir.
- $B = [-1, 4]$: Bu küme, -1'den büyük veya eşit ve 4'ten küçük veya eşit tüm gerçek sayıları içerir. Hem -1 hem de 4 sayıları bu kümeye dahildir. Sayı doğrusunda kapalı bir aralıktır.
- $C = (3, \infty)$: Bu küme, 3'ten büyük tüm gerçek sayıları içerir. 3 sayısı bu kümeye dahil değildir. Sayı doğrusunda 3'ten başlayıp sağa doğru $\infty$'a kadar uzanır.
- Bizden istenen ifade $(A \cup B) \cap C$ kümesidir. Bu ifadeyi bulmak için önce parantez içindeki $A \cup B$ işlemini yapmalıyız.
- 2. Adım: $A \cup B$ Kümesini Bulalım
- Birleşim ($ \cup $) işlemi, iki kümenin tüm elemanlarını bir araya getirmek demektir. Yani $A$ kümesindeki veya $B$ kümesindeki tüm elemanları içeren yeni bir küme oluşturacağız.
- $A = (-\infty, 2)$
- $B = [-1, 4]$
- Sayı doğrusu üzerinde bu iki kümeyi birleştirdiğimizde:
- $A$ kümesi $-\infty$'dan 2'ye kadar gelir (2 hariç).
- $B$ kümesi -1'den 4'e kadar gider (-1 ve 4 dahil).
- Bu iki kümeyi birleştirdiğimizde, en soldaki sınırımız $-\infty$ olur. En sağdaki sınırımız ise 4 olur (çünkü $B$ kümesi 4'ü içerir). $A$ kümesi 2'ye kadar gelirken, $B$ kümesi -1'den başlayıp 4'e kadar gittiği için 2'yi de kapsar. Dolayısıyla, birleşim kümesi $-\infty$'dan başlayıp 4'te biten bir aralık olur ve 4 dahildir.
- Bu durumda, $A \cup B = (-\infty, 4]$ olur.
- 3. Adım: $(A \cup B) \cap C$ Kümesini Bulalım
- Şimdi bulduğumuz $A \cup B = (-\infty, 4]$ kümesi ile $C = (3, \infty)$ kümesinin kesişimini ($ \cap $) alacağız.
- Kesişim işlemi, her iki kümede de ortak olan elemanları bulmak demektir. Yani her iki kümenin de içinde bulunan sayıları belirleyeceğiz.
- $A \cup B = (-\infty, 4]$
- $C = (3, \infty)$
- Sayı doğrusu üzerinde bu iki aralığın ortak kısmını düşünelim:
- $(-\infty, 4]$ aralığı, soldan 4'e kadar gelir (4 dahil).
- $(3, \infty)$ aralığı, 3'ten sağa doğru sonsuza kadar gider (3 hariç).
- Bu iki aralığın ortak elemanları, hem 3'ten büyük hem de 4'ten küçük veya eşit olan sayılardır.
- Ortak aralığın başlangıcı 3'ten büyük olmalı, çünkü $C$ kümesi 3'ü içermiyor. Bu yüzden parantez $(3$ şeklinde olacaktır.
- Ortak aralığın bitişi 4'ten küçük veya eşit olmalı, çünkü $A \cup B$ kümesi 4'ü içeriyor. Bu yüzden köşeli parantez $4]$ şeklinde olacaktır.
- Bu durumda kesişim kümesi $(3, 4]$ olur.
- 4. Adım: Seçeneklerle Karşılaştıralım
- Bulduğumuz sonuç $(3, 4]$'tür. Seçeneklere baktığımızda bu sonucun A seçeneğinde yer aldığını görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
