Bir veri setindeki tüm değerler 3 ile çarpılırsa, bu veri setinin varyansı nasıl değişir?
A) 3 katına çıkarBir veri setindeki tüm değerler sabit bir sayı ile çarpıldığında, veri setinin varyansının nasıl değiştiğini adım adım inceleyelim.
Varyans, bir veri setindeki değerlerin ortalamadan ne kadar saptığını, yani ne kadar yayıldığını ölçen bir istatistiksel ölçüdür. Matematiksel olarak, her bir veri noktasının ortalamadan farkının karelerinin toplamının veri sayısına bölünmesiyle bulunur.
Bir $X = \{x_1, x_2, ..., x_n\}$ veri setinin ortalaması $\mu_X$ ve varyansı $\sigma_X^2$ şu şekilde ifade edilir:
Ortalama: $\mu_X = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
Varyans: $\sigma_X^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu_X)^2}{n}$
(Not: Örneklem varyansı için payda $n-1$ kullanılır, ancak bu tür bir değişim sorusunda temel prensip aynıdır.)
Şimdi, orijinal veri setindeki tüm değerleri 3 ile çarpalım. Yeni veri setimiz $Y = \{y_1, y_2, ..., y_n\}$ olsun, burada her $y_i = 3x_i$ dir.
Yeni veri setinin ortalamasını ($\mu_Y$) hesaplayalım:
$\mu_Y = \frac{\sum_{i=1}^{n} y_i}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (3x_i)}{n}$
Toplam sembolünün dışına sabiti alabiliriz:
$\mu_Y = \frac{3 \sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
Burada $\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ ifadesi, orijinal veri setinin ortalaması olan $\mu_X$'e eşittir. Öyleyse:
$\mu_Y = 3\mu_X$
Yani, veri setindeki her değeri 3 ile çarptığımızda, ortalama da 3 katına çıkar.
Şimdi yeni veri setinin varyansını ($\sigma_Y^2$) hesaplayalım:
$\sigma_Y^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \mu_Y)^2}{n}$
$y_i$ yerine $3x_i$ ve $\mu_Y$ yerine $3\mu_X$ yazalım:
$\sigma_Y^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (3x_i - 3\mu_X)^2}{n}$
Parantez içindeki ifadeyi 3 parantezine alalım:
$\sigma_Y^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (3(x_i - \mu_X))^2}{n}$
$(3(x_i - \mu_X))^2$ ifadesi $3^2 (x_i - \mu_X)^2 = 9 (x_i - \mu_X)^2$ olur:
$\sigma_Y^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} 9(x_i - \mu_X)^2}{n}$
Sabit olan 9'u toplam sembolünün dışına alabiliriz:
$\sigma_Y^2 = 9 \left( \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu_X)^2}{n} \right)$
Parantez içindeki ifade, orijinal veri setinin varyansı olan $\sigma_X^2$'ye eşittir. Öyleyse:
$\sigma_Y^2 = 9\sigma_X^2$
Bu durumda, veri setindeki tüm değerler 3 ile çarpıldığında, varyans 9 katına çıkar.
Genel olarak, bir veri setindeki tüm değerler $c$ gibi bir sabit ile çarpılırsa, yeni varyans orijinal varyansın $c^2$ katı olur. Bu durumda $c=3$ olduğu için, varyans $3^2 = 9$ katına çıkar.
Cevap B seçeneğidir.
