Koşullu olasılık formülü Test 2

Bir madeni para iki kez atılıyor. En az bir tura geldiği bilindiğine göre, iki atışın da tura gelme olasılığı kaçtır?

A) \( \frac{1}{4} \)
B) \( \frac{1}{3} \)
C) \( \frac{1}{2} \)
D) \( \frac{2}{3} \)

Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde koşullu olasılık kavramını kullanarak bir madeni paranın iki kez atılması durumunu inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Tüm Olası Sonuçları Belirleyelim

Bir madeni para iki kez atıldığında ortaya çıkabilecek tüm olası sonuçları listeleyelim. Burada 'Y' yazıyı, 'T' ise turayı temsil etsin:

• Yazı-Yazı (YY)
• Yazı-Tura (YT)
• Tura-Yazı (TY)
• Tura-Tura (TT)

Gördüğümüz gibi, toplam $4$ farklı ve eşit olasılıklı sonuç vardır.

• 2. Adım: "Bilinen" Olayı (Koşul) Tanımlayalım

Soruda bize "En az bir tura geldiği bilindiğine göre" deniyor. Bu, bizim koşulumuzdur. Bu olaya 'B' diyelim.

Olay B: "En az bir tura gelmesi" anlamına gelir. Bu durumda, içinde en az bir 'T' olan sonuçları seçmeliyiz:

• Yazı-Tura (YT)
• Tura-Yazı (TY)
• Tura-Tura (TT)

Olay B'nin $3$ olası sonucu vardır. Bu olayın olasılığı $P(B) = \frac{\text{Olay B'nin sonuç sayısı}}{\text{Tüm olası sonuç sayısı}} = \frac{3}{4}$'tür.

• 3. Adım: İstenen Olayı Tanımlayalım

Bizden istenen olay "iki atışın da tura gelmesi"dir. Bu olaya 'A' diyelim.

Olay A: "İki atışın da tura gelmesi" anlamına gelir. Bu durumda sadece bir sonuç vardır:

• Tura-Tura (TT)

Olay A'nın $1$ olası sonucu vardır. Bu olayın olasılığı $P(A) = \frac{\text{Olay A'nın sonuç sayısı}}{\text{Tüm olası sonuç sayısı}} = \frac{1}{4}$'tür.

• 4. Adım: İki Olayın Kesişimini Bulalım

Koşullu olasılık formülünü kullanmak için hem 'A' olayının hem de 'B' olayının aynı anda gerçekleştiği durumu, yani $A \cap B$ kesişimini bulmamız gerekir.

$A \cap B$: "İki atışın da tura gelmesi" VE "en az bir tura gelmesi" anlamına gelir.

Eğer iki atış da tura (TT) gelirse, bu durum aynı zamanda "en az bir tura gelmesi" koşulunu da sağlar. Dolayısıyla, kesişim kümesi sadece 'TT' sonucunu içerir:

• Tura-Tura (TT)

$A \cap B$'nin $1$ olası sonucu vardır. Bu olayın olasılığı $P(A \cap B) = \frac{\text{Kesişimin sonuç sayısı}}{\text{Tüm olası sonuç sayısı}} = \frac{1}{4}$'tür.

• 5. Adım: Koşullu Olasılık Formülünü Uygulayalım

Bir 'B' olayının gerçekleştiği bilindiğinde, bir 'A' olayının gerçekleşme olasılığı (koşullu olasılık) şu formülle bulunur:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Şimdi bulduğumuz değerleri formülde yerine koyalım:

$P(A|B) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}$

$P(A|B) = \frac{1}{4} \times \frac{4}{3}$

$P(A|B) = \frac{1}{3}$

Buna göre, en az bir tura geldiği bilindiğine göre, iki atışın da tura gelme olasılığı $ \frac{1}{3} $'tür.

Cevap B seçeneğidir.