Homojen trigonometrik denklemler Test 2

Bir üçgenin iç açıları $A$, $B$, $C$ olmak üzere $\sin^2 A - 3\sin A \cos A + 2\cos^2 A = 0$ eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre bu üçgenin en büyük açısı kaç derecedir?

A) 30°
B) 45°
C) 60°
D) 90°

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, bir üçgenin iç açılarından biri olan $A$ açısı için verilen bir trigonometrik denklemi kullanarak, bu üçgenin en büyük açısını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Verilen Trigonometrik Denklemi Çözme

  Bize verilen denklem şudur:

  $\sin^2 A - 3\sin A \cos A + 2\cos^2 A = 0$

  Bu denklemi çözmek için, her terimi $\cos^2 A$ ile bölebiliriz. Ancak, önce $\cos A = 0$ durumunu kontrol edelim. Eğer $\cos A = 0$ ise, $A = 90^\circ$ olur (çünkü $A$ bir üçgenin iç açısıdır). Bu durumda $\sin A = 1$ olur. Denklemi yerine yazarsak:

  $1^2 - 3(1)(0) + 2(0)^2 = 1 - 0 + 0 = 1 \neq 0$

  Gördüğümüz gibi, $\cos A = 0$ olamaz. Bu nedenle, denklemi $\cos^2 A$ ile bölebiliriz:

  $\frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} - 3\frac{\sin A \cos A}{\cos^2 A} + 2\frac{\cos^2 A}{\cos^2 A} = 0$

  Bu ifadeyi $\tan A$ cinsinden yazarsak:

  $\tan^2 A - 3\tan A + 2 = 0$

• Adım 2: $\tan A$ Değerlerini Bulma

  Şimdi elimizde $\tan A$ için ikinci dereceden bir denklem var. Bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. $\tan A = x$ dersek, denklem $x^2 - 3x + 2 = 0$ şeklini alır. Bu denklemi çarpanlarına ayırırsak:

  $(x-1)(x-2) = 0$

  Buradan $x=1$ veya $x=2$ sonuçlarını elde ederiz. Yani:

  $\tan A = 1$ veya $\tan A = 2$

• Adım 3: $A$ Açısının Olası Değerlerini Belirleme

  $A$ bir üçgenin iç açısı olduğu için $0^\circ < A < 180^\circ$ aralığında olmalıdır.

  • Eğer $\tan A = 1$ ise, $A = 45^\circ$ olur.
  • Eğer $\tan A = 2$ ise, $A = \arctan(2)$ olur. Bu açı yaklaşık olarak $63.4^\circ$'dir (çünkü $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732$ ve $\tan 90^\circ$ tanımsızdır).

  Yani, üçgenin $A$ açısı $45^\circ$ veya $\arctan(2)$ olabilir.

• Adım 4: Üçgenin En Büyük Açısını Bulma

  Şimdi, bu üçgenin en büyük açısını bulmalıyız. Soru, "bu üçgenin" diyerek belirli bir üçgene işaret ediyor ve seçenekler arasında bir cevap bekliyor. Bu durumda, verilen koşulu sağlayan ve seçeneklerdeki en büyük açıyı içeren bir üçgen olup olmadığını kontrol edebiliriz.

  Bir üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$'dir ($A+B+C = 180^\circ$).

  • Durum 1: $A = 45^\circ$ ise

    Eğer üçgen bir dik üçgen ise, açılarından biri $90^\circ$ olmalıdır. Diyelim ki $C = 90^\circ$. Bu durumda:

    $45^\circ + B + 90^\circ = 180^\circ$

    $B = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

    Bu durumda üçgenin açıları $45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$ olur. Bu bir ikizkenar dik üçgendir ve en büyük açısı $90^\circ$'dir.

  • Durum 2: $A = \arctan(2)$ (yaklaşık $63.4^\circ$) ise

    Yine, eğer üçgen bir dik üçgen ise, açılarından biri $90^\circ$ olmalıdır. Diyelim ki $C = 90^\circ$. Bu durumda:

    $\arctan(2) + B + 90^\circ = 180^\circ$

    $B = 90^\circ - \arctan(2)$

    Bu durumda üçgenin açıları $\arctan(2)$, $90^\circ - \arctan(2)$ ve $90^\circ$ olur. $\arctan(2) \approx 63.4^\circ$ ve $90^\circ - \arctan(2) \approx 26.6^\circ$ olduğundan, bu üçgenin en büyük açısı yine $90^\circ$'dir.

  Her iki durumda da, verilen koşulu sağlayan bir üçgenin en büyük açısı $90^\circ$ olabilir. Seçenekler arasında $90^\circ$ bulunduğundan ve bu durum her iki $A$ değeri için de geçerli olduğundan, bu üçgenin en büyük açısının $90^\circ$ olduğu sonucuna varabiliriz.

Cevap D seçeneğidir.