p(x) = √(x-5) + 1/√(7-x) fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [5, 7)Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, verilen bir fonksiyonun tanım kümesini nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $p(x) = \sqrt{x-5} + \frac{1}{\sqrt{7-x}}$.
Bir fonksiyonun tanım kümesini bulurken, fonksiyonu oluşturan her bir parçanın tanımlı olmasını sağlayan $x$ değerlerini belirlememiz gerekir. Bu fonksiyonda iki ana kısımdan oluşuyor ve her bir kısım için ayrı ayrı koşulları inceleyelim:
Kareköklü bir ifadenin tanımlı olabilmesi için kökün içindeki sayının sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir. Yani negatif olamaz.
Bu durumda, $x-5 \ge 0$ olmalıdır.
Eşitsizliği çözersek: $x \ge 5$.
Bu, $x$ değerlerinin 5'e eşit veya 5'ten büyük olması gerektiği anlamına gelir.
Bu kısımda iki önemli kuralı göz önünde bulundurmalıyız:
Şimdi bu iki kuralı birleştirelim:
$7-x \ge 0$ eşitsizliğini çözersek: $7 \ge x$ veya $x \le 7$.
Ayrıca, paydanın sıfır olmaması gerektiği için $\sqrt{7-x} \ne 0$ olmalıdır. Bu da $7-x \ne 0$ ve dolayısıyla $x \ne 7$ anlamına gelir.
Bu iki koşulu ($x \le 7$ ve $x \ne 7$) birleştirdiğimizde, $x < 7$ sonucunu elde ederiz.
Fonksiyonun tamamının tanımlı olabilmesi için her iki kısmın da tanımlı olması gerekir. Yani, hem birinci kısımdan gelen koşulun hem de ikinci kısımdan gelen koşulun aynı anda sağlanması gerekir.
Birinci kısımdan: $x \ge 5$
İkinci kısımdan: $x < 7$
Bu iki eşitsizliği birleştirdiğimizde, $5 \le x < 7$ aralığını buluruz.
Bu aralığı matematiksel olarak ifade edersek, kapalı aralık 5'ten başlar ve açık aralık 7'de biter. Yani $[5, 7)$.
Bu durumda, fonksiyonun tanım kümesi $[5, 7)$ aralığıdır.
Cevap A seçeneğidir.
