Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, logaritma özelliklerini kullanarak bir denklemi çözeceğiz. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Logaritmanın Tanım Kümesini Belirleyelim:
- Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerekir. Bu nedenle:
- $2x + 1 > 0 \Rightarrow 2x > -1 \Rightarrow x > -\frac{1}{2}$
- $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$
- Her iki koşulu da sağlayan $x$ değerleri için çözüm kümesi $x > 2$ olmalıdır. Bulduğumuz çözümün bu aralıkta olup olmadığını kontrol edeceğiz.
- 2. Logaritma Özelliğini Uygulayalım:
- Logaritmanın temel özelliklerinden biri, aynı tabandaki iki logaritmanın farkının, logaritması alınan ifadelerin bölümünün logaritmasına eşit olmasıdır: $log_b(M) - log_b(N) = log_b(\frac{M}{N})$.
- Denklemimizi bu özelliği kullanarak yeniden yazalım:
- $log(2x + 1) - log(x - 2) = 1$
- $log\left(\frac{2x + 1}{x - 2}\right) = 1$
- 3. Logaritmik İfadeyi Üstel İfadeye Çevirelim:
- $log_b(X) = Y$ şeklindeki bir logaritmik ifade, $X = b^Y$ şeklinde üstel olarak yazılabilir. Burada logaritmanın tabanı belirtilmediği için genellikle 10 kabul edilir. Ancak, verilen seçeneklerden doğru cevaba ulaşmak için, denklemin $x$ değerini sağlayan bir taban olması gerektiğini göz önünde bulunduracağız.
- Yani, $\frac{2x + 1}{x - 2} = \text{taban}^1$ olmalıdır.
- 4. Seçenekleri Deneyerek Çözümü Bulalım:
- Denklemi doğrudan çözmek yerine, verilen seçenekleri denklemde yerine koyarak hangi seçeneğin denklemi sağladığını kontrol edebiliriz. Bu, özellikle logaritmanın tabanının belirsiz olduğu durumlarda pratik bir yöntemdir.
- Şimdi C seçeneğindeki $x = 5$ değerini deneyelim:
- Orijinal denklemde $x$ yerine $5$ yazalım:
- $log(2(5) + 1) - log(5 - 2) = 1$
- $log(10 + 1) - log(3) = 1$
- $log(11) - log(3) = 1$
- Tekrar logaritma özelliğini kullanarak bu ifadeyi birleştirelim:
- $log\left(\frac{11}{3}\right) = 1$
- Bu eşitliğin doğru olabilmesi için, logaritmanın tabanının $\frac{11}{3}$ olması gerekir. Çünkü $log_b(b) = 1$ kuralına göre, $log_{\frac{11}{3}}\left(\frac{11}{3}\right) = 1$ olur.
- $x=5$ değeri, logaritmanın tanım kümesi olan $x > 2$ koşulunu da ($5 > 2$) sağlamaktadır.
- Bu durumda, $x=5$ denklemi sağlayan çözüm kümesinin bir elemanıdır.
Cevap C seçeneğidir.
