Mutlak Değer – Gerçek Sayı Aralığı Dönüşümleri Test 1

Bir üretim hattında sıcaklık değeri |t - 20| > 5 eşitsizliğini sağladığında sistem alarm vermektedir. Buna göre alarmın çalmadığı sıcaklık aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) (15, 25)
B) [15, 25]
C) (-∞, 15) ∪ (25, ∞)
D) (10, 30)

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir üretim hattındaki sıcaklık değerinin belirli bir eşitsizliği sağladığında alarm verdiğini ve bizden alarmın çalmadığı sıcaklık aralığını bulmamız isteniyor. Adım adım bu problemi çözelim:

• 1. Alarmın Çaldığı Durumu Anlayalım:

  Soruda verilen bilgiye göre, sistem sıcaklık değeri $t$ için $|t - 20| > 5$ eşitsizliğini sağladığında alarm vermektedir. Bu, sıcaklığın $20$ dereceden $5$ birimden daha fazla uzaklaştığı anlamına gelir.

• 2. Alarmın Çalmadığı Durumu Belirleyelim:

  Bizden alarmın çalmadığı sıcaklık aralığı isteniyor. Eğer alarm $|t - 20| > 5$ olduğunda çalıyorsa, alarmın çalmadığı durum bu eşitsizliğin tersi (değili) olacaktır. Yani alarmın çalmadığı durum, $|t - 20| \le 5$ eşitsizliğinin sağlandığı durumdur.

• 3. Mutlak Değer Eşitsizliğini Çözelim:

  Şimdi $|t - 20| \le 5$ eşitsizliğini çözmemiz gerekiyor. Mutlak değer eşitsizliklerinin temel kuralına göre, eğer $|x| \le a$ ise, bu $-a \le x \le a$ anlamına gelir. Bu kuralı bizim eşitsizliğimize uygulayalım:

  $-5 \le t - 20 \le 5$

• 4. $t$ Değerini Yalnız Bırakalım:

  $t$ değerini bulmak için eşitsizliğin her üç tarafına $20$ ekleyelim:

  $-5 + 20 \le t - 20 + 20 \le 5 + 20$

  $15 \le t \le 25$

• 5. Sonucu Yorumlayalım:

  Bulduğumuz $15 \le t \le 25$ eşitsizliği, sıcaklığın $15$ dereceye eşit veya daha büyük, aynı zamanda $25$ dereceye eşit veya daha küçük olduğu aralığı gösterir. Bu aralıkta sistem alarm vermez. Bu aralığı matematiksel olarak kapalı aralık gösterimiyle $[15, 25]$ şeklinde ifade ederiz.

• 6. Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz $[15, 25]$ aralığı, verilen seçeneklerden B seçeneği ile aynıdır.

Cevap B seçeneğidir.