Δ = 0 olduğunda ikinci dereceden denklemin kökleri nasıldır?
İkinci dereceden denklemlerin köklerinin doğasını anlamak, matematiğin temel konularından biridir. Şimdi, diskriminantın ($\Delta$) 0 olduğu durumu adım adım inceleyelim.
İkinci Dereceden Denklem ve Kök Formülü:
Genel bir ikinci dereceden denklem $ax^2 + bx + c = 0$ şeklinde yazılır (burada $a \neq 0$). Bu denklemin kökleri (çözümleri) aşağıdaki formülle bulunur:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Diskriminant ($\Delta$) Nedir?:
Kök formülündeki karekök içindeki ifadeye, yani $b^2 - 4ac$ kısmına diskriminant denir ve $\Delta$ (delta) sembolü ile gösterilir. Yani, $\Delta = b^2 - 4ac$.
Diskriminantın değeri, denklemin köklerinin gerçek mi, sanal mı, farklı mı yoksa eşit mi olduğunu belirler.
Diskriminantın Köklerin Doğasına Etkisi:
Diskriminantın değerine göre köklerin doğası şu şekildedir:
Eğer $\Delta > 0$ ise, denklemin iki farklı gerçek kökü vardır.
Eğer $\Delta = 0$ ise, denklemin iki eşit gerçek kökü vardır.
Eğer $\Delta < 0$ ise, denklemin gerçek kökü yoktur (iki sanal kökü vardır).
Sorumuzdaki Durum: $\Delta = 0$:
Sorumuzda $\Delta = 0$ olduğu durum soruluyor. Bu durumda, kök formülünü tekrar yazalım:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a}$
Köklerin Hesaplanması:
Karekök içindeki ifade 0 olduğu için $\sqrt{0} = 0$ olur. Formül şu hale gelir:
$x = \frac{-b \pm 0}{2a}$
Bu durumda, iki kökümüz de aynı değeri alır:
$x_1 = \frac{-b + 0}{2a} = \frac{-b}{2a}$
$x_2 = \frac{-b - 0}{2a} = \frac{-b}{2a}$
Sonuç:
Gördüğümüz gibi, her iki kök de $\frac{-b}{2a}$ değerine eşittir. Bu kökler gerçek sayılardır (çünkü $a$ ve $b$ gerçek sayılardır) ve birbirlerine eşittirler.
Dolayısıyla, $\Delta = 0$ olduğunda ikinci dereceden denklemin kökleri gerçek ve eşit olur.
Cevap B seçeneğidir.
