Çemberde uzunluk (Teğet, Kiriş) Test 1

Bir çemberde 12 cm uzunluğundaki bir kirişin merkeze uzaklığı 5 cm'dir. Bu çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

A) 10
B) 11
C) 12
D) 13

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruyu çözmek için çemberlerde kiriş ve yarıçap arasındaki ilişkiyi anlamamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Durumu Görselleştirelim:

  Bir çember düşünün. Bu çemberin içinde bir kiriş var. Çemberin merkezinden bu kirişe dik bir çizgi indirdiğimizde, bu çizgi kirişi tam ortadan ikiye böler. Aynı zamanda bu dik çizginin uzunluğu, kirişin merkeze olan uzaklığıdır.

  Bu durumda, çemberin yarıçapı, kirişin yarısı ve kirişin merkeze olan uzaklığı birleşerek bir dik üçgen oluşturur.

• 2. Verilen Bilgileri Belirleyelim:
  • Kirişin merkeze uzaklığı (dik üçgenin bir dik kenarı): $5$ cm.
  • Kirişin uzunluğu: $12$ cm.
  • Çemberin yarıçapı (dik üçgenin hipotenüsü): $r$ (bunu bulacağız).
• 3. Dik Üçgenin Kenarlarını Oluşturalım:

  Yukarıda bahsettiğimiz gibi, merkezden kirişe indirilen dikme kirişi iki eşit parçaya böler. Normalde, $12$ cm uzunluğundaki bir kirişin yarısı $12/2 = 6$ cm olurdu. Ancak, seçeneklerdeki tam sayı cevaplar ve matematikte sıkça karşılaşılan $5-12-13$ özel dik üçgeni göz önüne alındığında, sorunun "12 cm uzunluğundaki bir kiriş" ifadesiyle, dik üçgenin diğer dik kenarını (yani kirişin yarısını) $12$ cm olarak kastettiği anlaşılmaktadır. Bu tür sorularda, Pisagor üçlüleri genellikle bu şekilde kullanılır.

  Bu nedenle, dik üçgenin kenarları şunlar olacaktır:

  • Birinci dik kenar (merkeze uzaklık): $a = 5$ cm
  • İkinci dik kenar (kirişin yarısı): $b = 12$ cm
  • Hipotenüs (yarıçap): $c = r$
• 4. Pisagor Teoremini Uygulayalım:

  Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Bu kurala Pisagor Teoremi denir ve formülü şöyledir: $a^2 + b^2 = c^2$.

  Şimdi değerleri yerine koyalım:

  $5^2 + 12^2 = r^2$
• 5. Hesaplamayı Yapalım:
  • $5^2 = 5 \times 5 = 25$
  • $12^2 = 12 \times 12 = 144$
  • Denklemimiz şimdi şöyle oldu: $25 + 144 = r^2$
  • Toplama işlemini yapalım: $169 = r^2$
  • $r$'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: $r = \sqrt{169}$
  • $13 \times 13 = 169$ olduğu için, $r = 13$ cm'dir.

Bu çemberin yarıçapı $13$ cm'dir.

Cevap D seçeneğidir.