Mantıkta önermelerin eşdeğerliği konusu, farklı ifadelerin aynı anlama gelmesi demektir. Şimdi $p \leftrightarrow q$ ifadesinin hangi seçenekteki ifadeye eşdeğer olduğunu adım adım inceleyelim.
1. $p \leftrightarrow q$ İfadesini Anlayalım:
- $p \leftrightarrow q$ ifadesi "$p$ ancak ve ancak $q$" şeklinde okunur ve çift koşullu önerme olarak adlandırılır.
- Bu önerme, $p$ ve $q$ önermelerinin doğruluk değerleri aynı olduğunda (yani ikisi de doğru veya ikisi de yanlış olduğunda) doğru, doğruluk değerleri farklı olduğunda ise yanlış olur.
2. Eşdeğerlik Ne Demektir?
- İki önermenin eşdeğer olması, onların doğruluk tablolarının tamamen aynı olması anlamına gelir. Yani, her olası $p$ ve $q$ doğruluk değeri kombinasyonu için aynı sonuca sahip olmaları gerekir.
3. Seçenekleri İnceleyelim:
Şimdi seçeneklere tek tek bakalım ve $p \leftrightarrow q$ ile hangisinin doğruluk tablosunun aynı olduğunu bulmaya çalışalım.
A) $(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$
- Öncelikle, $p \rightarrow q$ ifadesini hatırlayalım. Bu, "eğer $p$ ise $q$" anlamına gelen koşullu önermedir. Sadece $p$ doğru ve $q$ yanlış olduğunda yanlış, diğer tüm durumlarda doğrudur.
- Benzer şekilde, $q \rightarrow p$ ifadesi "eğer $q$ ise $p$" anlamına gelir. Sadece $q$ doğru ve $p$ yanlış olduğunda yanlış, diğer tüm durumlarda doğrudur.
- Şimdi bu iki koşullu önermeyi $\wedge$ (ve) bağlacı ile birleştirelim: $(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$. "Ve" bağlacı, her iki önerme de doğru olduğunda doğru, diğer tüm durumlarda yanlıştır.
- Bu ifadenin doğruluk tablosunu oluşturalım ve $p \leftrightarrow q$ ile karşılaştıralım:
- Durum 1: $p$ doğru, $q$ doğru ($T, T$) olduğunda:
$p \rightarrow q$ (T $\rightarrow$ T) = T
$q \rightarrow p$ (T $\rightarrow$ T) = T
$(T) \wedge (T)$ = T. Bu durum $p \leftrightarrow q$ için de T'dir.
- Durum 2: $p$ doğru, $q$ yanlış ($T, F$) olduğunda:
$p \rightarrow q$ (T $\rightarrow$ F) = F
$q \rightarrow p$ (F $\rightarrow$ T) = T
$(F) \wedge (T)$ = F. Bu durum $p \leftrightarrow q$ için de F'dir.
- Durum 3: $p$ yanlış, $q$ doğru ($F, T$) olduğunda:
$p \rightarrow q$ (F $\rightarrow$ T) = T
$q \rightarrow p$ (T $\rightarrow$ F) = F
$(T) \wedge (F)$ = F. Bu durum $p \leftrightarrow q$ için de F'dir.
- Durum 4: $p$ yanlış, $q$ yanlış ($F, F$) olduğunda:
$p \rightarrow q$ (F $\rightarrow$ F) = T
$q \rightarrow p$ (F $\rightarrow$ F) = T
$(T) \wedge (T)$ = T. Bu durum $p \leftrightarrow q$ için de T'dir.
- Gördüğümüz gibi, $(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$ ifadesinin doğruluk tablosu, $p \leftrightarrow q$ ifadesinin doğruluk tablosu ile tamamen aynıdır. Bu da onların eşdeğer olduğunu gösterir.
Diğer Seçeneklere Kısa Bir Bakış:
- B) $(p \rightarrow q) \vee (q \rightarrow p)$: Bu ifade, $p$ ve $q$ farklı doğruluk değerlerine sahip olduğunda bile (örneğin $p=T, q=F$ durumunda $p \rightarrow q = F$ ama $q \rightarrow p = T$, dolayısıyla sonuç $F \vee T = T$) genellikle doğru çıkar. $p \leftrightarrow q$ ise bu durumda yanlıştır. Bu yüzden eşdeğer değildir.
- C) $(p \wedge q) \vee (\neg p \wedge \neg q)$: Bu ifade de $p \leftrightarrow q$ ile eşdeğerdir. Ancak, mantıkta çift koşullu önermenin tanımsal olarak en yaygın ve temel eşdeğeri A seçeneğinde verilen formdur. A seçeneği, "p ise q" ve "q ise p" koşullarının birleşimi olarak çift koşullu önermenin yapısını doğrudan yansıtır.
- D) $(p \vee q) \wedge (\neg p \vee \neg q)$: Bu ifade, $p$ ve $q$'nun doğruluk değerleri farklı olduğunda doğru, aynı olduğunda yanlıştır. Bu, $p \leftrightarrow q$ ifadesinin tam tersidir (yani $p \oplus q$ veya $p \not\leftrightarrow q$ ifadesine eşdeğerdir). Bu yüzden eşdeğer değildir.
Sonuç olarak, $p \leftrightarrow q$ ifadesinin doğruluk tablosu ile $(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$ ifadesinin doğruluk tablosu tamamen aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
