Boyutları 240 cm ve 300 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına ve içine, köşelerine de gelecek şekilde eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Dikilecek ağaçlar arasındaki mesafe en fazla kaç cm olabilir?
A) 40Sevgili öğrenciler, bu tür sorular, günlük hayatta karşımıza çıkabilecek bir problemi matematiksel düşünme becerilerimizle nasıl çözeceğimizi gösterir. Bahçemizin etrafına ve içine eşit aralıklarla ağaç dikeceksek ve bu aralığın en fazla olmasını istiyorsak, hem bahçenin uzun kenarını hem de kısa kenarını tam bölen en büyük sayıyı bulmamız gerekir. İşte bu sayıya En Büyük Ortak Bölen (EBOB) diyoruz.
Dikdörtgen şeklindeki bahçemizin boyutları $240$ cm ve $300$ cm'dir. Ağaçlar eşit aralıklarla dikilecek ve bu aralık en fazla olacak. Bu durum, hem $240$ cm'yi hem de $300$ cm'yi tam bölen en büyük sayıyı, yani bu iki sayının EBOB'unu bulmamız gerektiği anlamına gelir.
EBOB'u bulmak için farklı yöntemler kullanabiliriz. En yaygın yöntemlerden biri, sayıları asal çarpanlarına ayırmaktır:
Öncelikle $240$ sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
$240 = 24 \times 10 = (2^3 \times 3) \times (2 \times 5) = 2^4 \times 3^1 \times 5^1$
Şimdi de $300$ sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
$300 = 3 \times 100 = 3 \times (10^2) = 3 \times (2 \times 5)^2 = 2^2 \times 3^1 \times 5^2$
Her iki sayıda da ortak olan asal çarpanları ve bu çarpanların en küçük üslerini alarak EBOB'u buluruz:
Ortak asal çarpanlar $2$, $3$ ve $5$'tir.
$2$'nin en küçük üssü $2^2$'dir.
$3$'ün en küçük üssü $3^1$'dir.
$5$'in en küçük üssü $5^1$'dir.
Bu durumda EBOB $(240, 300) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$ cm olur.
Bulduğumuz $60$ cm değeri, ağaçlar arasındaki mesafenin en fazla kaç cm olabileceğini gösterir. Bu mesafe hem $240$ cm'yi ($240 / 60 = 4$ parça) hem de $300$ cm'yi ($300 / 60 = 5$ parça) tam böler. Böylece ağaçlar eşit aralıklarla ve köşelere de gelecek şekilde dikilebilir.
Cevap C seçeneğidir.
