10. Sınıf Bire Bir ve Örten Fonksiyon Test 1

A = {1, 2, 3} kümesinden B = {a, b, c, d} kümesine tanımlı fonksiyonlardan kaç tanesi bire birdir?

A) 24
B) 36
C) 48
D) 64

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, belirli iki küme arasında tanımlanabilecek birebir fonksiyon sayısını bulacağız. Fonksiyonlar konusu matematikte oldukça önemli bir yer tutar. Haydi adım adım bu soruyu çözelim!

• Kümeleri Tanıyalım:

  Öncelikle verilen kümeleri ve eleman sayılarını belirleyelim:

  • A kümesi (tanım kümesi): $A = \{1, 2, 3\}$
  • A kümesinin eleman sayısı: $|A| = 3$
  • B kümesi (değer kümesi): $B = \{a, b, c, d\}$
  • B kümesinin eleman sayısı: $|B| = 4$
• Birebir Fonksiyon Nedir?

  Bir fonksiyonun birebir (injective) olması demek, tanım kümesindeki her farklı elemanın değer kümesinde farklı bir elemana eşlenmesi demektir. Yani, $x_1 \neq x_2$ ise $f(x_1) \neq f(x_2)$ olmalıdır. Kısacası, değer kümesindeki hiçbir eleman, tanım kümesindeki birden fazla elemanla eşleşemez.

• Fonksiyonları Oluşturmaya Başlayalım:

  A kümesindeki elemanları sırasıyla B kümesindeki elemanlarla eşleştireceğiz ve her adımda birebir olma şartını göz önünde bulunduracağız.

  • A kümesinin ilk elemanı ($1$ için):

    A kümesinin ilk elemanı olan $1$ için B kümesinde eşleşebileceği $4$ farklı eleman vardır (a, b, c veya d). Henüz hiçbir eleman eşleşmediği için tüm seçenekler açıktır.

  • A kümesinin ikinci elemanı ($2$ için):

    Fonksiyonun birebir olması gerektiğinden, A kümesinin ikinci elemanı olan $2$, ilk elemanın ($1$) eşleştiği elemanla eşleşemez. Bu durumda B kümesinde geriye $4 - 1 = 3$ farklı eleman kalır. Yani, $2$ için $3$ farklı eşleşme seçeneği vardır.

  • A kümesinin üçüncü elemanı ($3$ için):

    Yine birebir olma şartı gereği, A kümesinin üçüncü elemanı olan $3$, ilk iki elemanın ($1$ ve $2$) eşleştiği elemanlarla eşleşemez. Bu durumda B kümesinde geriye $4 - 2 = 2$ farklı eleman kalır. Yani, $3$ için $2$ farklı eşleşme seçeneği vardır.

• Toplam Birebir Fonksiyon Sayısını Bulma:

  Her bir adımda sahip olduğumuz seçenekleri çarparak toplam birebir fonksiyon sayısını buluruz:

  Toplam birebir fonksiyon sayısı = (1. eleman için seçenek sayısı) $\times$ (2. eleman için seçenek sayısı) $\times$ (3. eleman için seçenek sayısı)

  Toplam birebir fonksiyon sayısı = $4 \times 3 \times 2 = 24$

  Bu aynı zamanda permütasyon formülüyle de ifade edilebilir: $P(|B|, |A|) = P(4, 3) = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Bu adımları takip ettiğimizde, A kümesinden B kümesine tanımlı $24$ tane birebir fonksiyon olduğunu buluruz.

Cevap A seçeneğidir.