f: [0, ∞) → [1, ∞) fonksiyonu f(x) = x² + 1 kuralı ile tanımlanıyor. Bu fonksiyon için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Bire bir ama örten değil
B) Örten ama bire bir değil
C) Hem bire bir hem örten
D) Ne bire bir ne örten
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda verilen fonksiyonun bire bir (one-to-one) ve örten (onto) özelliklerini inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $f: [0, \infty) \rightarrow [1, \infty)$ ve kuralı $f(x) = x^2 + 1$ olarak verilmiştir.
-
1. Fonksiyonun Tanım ve Değer Kümelerini Anlayalım:
Fonksiyonun tanım kümesi (domain) $[0, \infty)$'dur. Bu, $x$ değerlerinin $0$ veya $0$'dan büyük tüm reel sayılar olabileceği anlamına gelir. Fonksiyonun değer kümesi (codomain) ise $[1, \infty)$'dur. Bu, fonksiyonun alabileceği $y$ değerlerinin $1$ veya $1$'den büyük tüm reel sayılar olması beklendiği anlamına gelir.
-
2. Bire Bir (One-to-One) Özelliğini İnceleyelim:
Bir fonksiyonun bire bir olması için, tanım kümesindeki farklı $x$ değerlerinin görüntüleri de farklı olmalıdır. Yani, eğer $f(x_1) = f(x_2)$ ise, bu durumda $x_1 = x_2$ olmalıdır.
- $f(x_1) = f(x_2)$ eşitliğini kuralımıza uygulayalım:
- $x_1^2 + 1 = x_2^2 + 1$
- Her iki taraftan $1$ çıkarırsak: $x_1^2 = x_2^2$
- Her iki tarafın karekökünü alırsak: $\sqrt{x_1^2} = \sqrt{x_2^2}$
- Bu da $|x_1| = |x_2|$ demektir.
- Tanım kümemiz $[0, \infty)$ olduğu için, $x_1$ ve $x_2$ değerleri negatif olamaz. Dolayısıyla $|x_1| = x_1$ ve $|x_2| = x_2$ olur.
- Bu durumda $x_1 = x_2$ sonucuna ulaşırız.
- Bu, fonksiyonun bire bir olduğunu gösterir.
-
3. Örten (Onto) Özelliğini İnceleyelim:
Bir fonksiyonun örten olması için, değer kümesindeki her $y$ elemanı için tanım kümesinde en az bir $x$ elemanı bulunmalıdır öyle ki $f(x) = y$ olsun. Diğer bir deyişle, fonksiyonun görüntü kümesi (range) ile değer kümesi (codomain) aynı olmalıdır.
- Değer kümesinden rastgele bir $y$ elemanı alalım. Bu $y$ için $y \in [1, \infty)$ yani $y \ge 1$ olduğunu biliyoruz.
- Şimdi $f(x) = y$ eşitliğini sağlayan bir $x$ bulmaya çalışalım:
- $x^2 + 1 = y$
- $x^2 = y - 1$
- $x = \pm \sqrt{y - 1}$
- Tanım kümemiz $[0, \infty)$ olduğu için, $x$ değeri negatif olamaz. Bu yüzden $x = \sqrt{y - 1}$ seçeneğini almalıyız.
- Şimdi bu $x$ değerinin tanım kümemiz olan $[0, \infty)$ içinde olup olmadığını kontrol edelim:
- Değer kümesinden aldığımız $y$ için $y \ge 1$ olduğunu biliyoruz.
- Bu durumda $y - 1 \ge 0$ olur.
- Dolayısıyla $\sqrt{y - 1}$ ifadesi tanımlıdır ve $\sqrt{y - 1} \ge 0$ olur.
- Yani bulduğumuz $x = \sqrt{y - 1}$ değeri tanım kümesi $[0, \infty)$ içindedir.
- Bu, değer kümesindeki her $y$ için tanım kümesinde bir $x$ bulabildiğimiz anlamına gelir. Bu da fonksiyonun örten olduğunu gösterir.
-
4. Sonuç:
Yaptığımız incelemeler sonucunda, verilen $f(x) = x^2 + 1$ fonksiyonunun hem bire bir hem de örten olduğunu bulduk.
Cevap C seçeneğidir.
