Ters simetri özelliği nedir (Bağıntı) Test 1

A = {a, b, c} kümesi üzerinde R = {(a,b), (b,c)} bağıntısı ters simetrik midir?

A) Evet, çünkü hiçbir (x,y) ve (y,x) çifti yok
B) Hayır, çünkü simetrik değil
C) Evet, çünkü yansıyan değil
D) Hayır, çünkü geçişli değil

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, verilen bir bağıntının ters simetrik olup olmadığını anlamamız isteniyor. Adım adım inceleyelim:

• Ters Simetrik Bağıntı Nedir?

  Bir $A$ kümesi üzerinde tanımlı bir $R$ bağıntısının ters simetrik olması için şu koşul sağlanmalıdır:

  Eğer $(x,y) \in R$ ve $(y,x) \in R$ ise, o zaman $x=y$ olmalıdır.

  Başka bir deyişle, eğer $x$ ve $y$ birbirinden farklı elemanlarsa ($x \neq y$), o zaman $R$ içinde hem $(x,y)$ hem de $(y,x)$ çiftini aynı anda bulamayız. Eğer $(x,y)$ varsa, $(y,x)$ olmamalıdır (veya tam tersi).

• Verilen Kümeyi ve Bağıntıyı İnceleyelim:
  • Kümemiz: $A = \{a, b, c\}$
  • Bağıntımız: $R = \{(a,b), (b,c)\}$
• Bağıntıdaki Çiftleri Ters Simetri Koşuluna Göre Kontrol Edelim:

  Ters simetri tanımına göre, $R$ içindeki her $(x,y)$ çifti için, eğer $(y,x)$ çifti de $R$ içinde olsaydı, $x$ ve $y$ elemanlarının eşit olması gerekirdi.

  • İlk çiftimiz $(a,b) \in R$. Burada $x=a$ ve $y=b$. $a \neq b$ olduğu için, ters simetrik olması için $(b,a)$ çiftinin $R$ içinde OLMAMASI gerekir. Bağıntıya baktığımızda, $(b,a)$ çifti $R$ içinde yoktur. Bu koşulu sağlar.
  • İkinci çiftimiz $(b,c) \in R$. Burada $x=b$ ve $y=c$. $b \neq c$ olduğu için, ters simetrik olması için $(c,b)$ çiftinin $R$ içinde OLMAMASI gerekir. Bağıntıya baktığımızda, $(c,b)$ çifti $R$ içinde yoktur. Bu koşulu sağlar.
• Sonuç:

  Gördüğümüz gibi, $R$ bağıntısı içinde $x \neq y$ iken hem $(x,y)$ hem de $(y,x)$ şeklinde hiçbir çift bulunmamaktadır. Yani, "Eğer $(x,y) \in R$ ve $(y,x) \in R$ ise..." şeklindeki koşulun "eğer" kısmı hiçbir zaman doğru olmamaktadır. Matematikte bu duruma "boş küme doğru" (vacuously true) denir ve bu, koşulun sağlandığı anlamına gelir.

  Bu nedenle, $R$ bağıntısı ters simetriktir.

Cevap A seçeneğidir.