4. \( 3\sqrt{20} - 2\sqrt{45} + \sqrt{5} \) işleminin sonucu kaçtır?
A) \( -\sqrt{5} \)Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda köklü ifadelerle toplama ve çıkarma işlemi yapacağız. Bu tür işlemlerde temel kural, kök içindeki sayıların aynı olmasıdır. Eğer kök içindeki sayılar farklıysa, onları aynı hale getirmeye çalışmalıyız. Hadi adımlara geçelim!
İşlemimiz $3\sqrt{20} - 2\sqrt{45} + \sqrt{5}$ şeklindedir. Burada $\sqrt{20}$ ve $\sqrt{45}$ ifadelerini $\sqrt{5}$ cinsinden yazmaya çalışacağız. Bunun için kök içindeki sayıları bir tam kare sayı ile 5'in çarpımı şeklinde ifade edelim.
$20 = 4 \times 5$ olduğu için, $\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5}$ şeklinde yazabiliriz. Tam kare olan $4$ sayısını kök dışına çıkarırsak, $\sqrt{4} = 2$ olur. Böylece $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ elde ederiz.
Şimdi ilk terimi yeniden yazalım: $3\sqrt{20} = 3 \times (2\sqrt{5}) = 6\sqrt{5}$.
$45 = 9 \times 5$ olduğu için, $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5}$ şeklinde yazabiliriz. Tam kare olan $9$ sayısını kök dışına çıkarırsak, $\sqrt{9} = 3$ olur. Böylece $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ elde ederiz.
İkinci terimi yeniden yazalım: $2\sqrt{45} = 2 \times (3\sqrt{5}) = 6\sqrt{5}$.
Şimdi bulduğumuz sadeleştirilmiş terimleri orijinal işlemde yerine koyalım:
$3\sqrt{20} - 2\sqrt{45} + \sqrt{5}$ işlemi şu hale gelir:
$6\sqrt{5} - 6\sqrt{5} + \sqrt{5}$
Artık tüm terimlerin kök içindeki sayıları aynı ($5$) olduğu için, katsayılarını toplayıp çıkarabiliriz:
$(6 - 6 + 1)\sqrt{5}$
Katsayıları hesaplayalım: $6 - 6 = 0$. Sonra $0 + 1 = 1$.
Yani işlemimizin sonucu $1\sqrt{5}$ olur. Matematikte $1$ katsayısını genellikle yazmayız, bu yüzden sonuç $\sqrt{5}$'tir.
Bu adımları takip ettiğimizde, işlemin sonucunun $\sqrt{5}$ olduğunu buluruz.
Cevap B seçeneğidir.
