Bir fonksiyonun tanım aralığı, o fonksiyonu anlamlı kılan, yani matematiksel olarak tanımlı yapan tüm $x$ değerlerinin kümesidir.
Sorumuzdaki fonksiyon: $f(x) = \log_4(x-1)$
- Logaritma Fonksiyonunun Tanım Şartları:
- Bir $\log_b(a)$ şeklindeki logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için iki temel şart vardır:
- Taban ($b$): Taban pozitif olmalı ve $1$'e eşit olmamalıdır. Yani $b > 0$ ve $b \neq 1$.
- İçerik (argüman $a$): Logaritmanın içindeki ifade (argüman) kesinlikle pozitif olmalıdır. Yani $a > 0$.
- Şimdi bu şartları verilen fonksiyonumuza uygulayalım: $f(x) = \log_4(x-1)$.
- Taban Kontrolü:
- Fonksiyonumuzun tabanı $4$'tür. $4 > 0$ ve $4 \neq 1$ olduğu için taban şartını sağlamaktadır. Bu kısımda herhangi bir sorun yoktur.
- İçerik (Argüman) Kontrolü:
- Logaritmanın içindeki ifade (argüman) $(x-1)$'dir. Tanım şartına göre bu ifadenin kesinlikle pozitif olması gerekir.
- Bu durumda, $x-1 > 0$ eşitsizliğini çözmeliyiz.
- Eşitsizliği çözmek için $-1$'i eşitsizliğin diğer tarafına atalım:
- $x > 1$
- Bu eşitsizlik, fonksiyonun tanımlı olabilmesi için $x$ değerlerinin $1$'den büyük olması gerektiğini gösterir.
- Yani, $x$ yerine $1$'den küçük veya $1$'e eşit bir değer koyarsak, logaritmanın içi sıfır veya negatif olur ki bu da logaritmayı tanımsız yapar. Örneğin, $x=1$ için $\log_4(1-1) = \log_4(0)$ ifadesi tanımsızdır. $x=0$ için $\log_4(0-1) = \log_4(-1)$ ifadesi de tanımsızdır.
- Sonuç:
- Fonksiyonun tanım aralığı, $x$ değerlerinin $1$'den büyük olduğu tüm sayılardır. Bu da $(1, \infty)$ aralığına karşılık gelir.
Seçeneklere baktığımızda, $x > 1$ ifadesi A seçeneğinde bulunmaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
