Bir rasyonel sayılar dizisi verilmiştir: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, ...$ Bu dizinin terimleri için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) Dizinin her terimi bir öncekinden küçüktürMerhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, verilen bir rasyonel sayılar dizisinin terimleri arasındaki ilişkiyi ve dizinin genel davranışını inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek doğru cevabı bulalım.
Verilen dizi şöyledir: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, ...$
Bu dizinin terimlerine dikkatlice baktığımızda bir örüntü (kural) olduğunu fark ederiz:
Görüyoruz ki, her terimin payı terim sayısına eşitken, paydası terim sayısının bir fazlasıdır. Yani, dizinin $n$. terimi $a_n = \frac{n}{n+1}$ şeklinde ifade edilebilir.
Bu seçenekler, dizinin terimlerinin bir öncekinden büyük mü yoksa küçük mü olduğunu soruyor. Bunu anlamak için ardışık terimleri karşılaştıralım.
Ortak payda kullanarak karşılaştıralım: $\frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$ ve $\frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$.
Görüyoruz ki $\frac{4}{6} > \frac{3}{6}$, yani $\frac{2}{3} > \frac{1}{2}$. İkinci terim birinciden büyüktür.
Ortak payda kullanarak karşılaştıralım: $\frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$ ve $\frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$.
Görüyoruz ki $\frac{9}{12} > \frac{8}{12}$, yani $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$. Üçüncü terim ikinciden büyüktür.
Bu örnekler bize dizinin her teriminin bir öncekinden büyük olduğunu gösteriyor. Bunu genel olarak ispatlamak için $a_n = \frac{n}{n+1}$ ve $a_{n+1} = \frac{n+1}{n+2}$ terimlerini karşılaştıralım:
$\frac{n}{n+1}$ ile $\frac{n+1}{n+2}$ karşılaştırmak için paydaları eşitleyebilir veya çapraz çarpım yapabiliriz:
$n(n+2)$ ile $(n+1)(n+1)$ karşılaştıralım.
$n^2 + 2n$ ile $n^2 + 2n + 1$ karşılaştıralım.
Açıkça görülüyor ki $n^2 + 2n + 1$ sayısı $n^2 + 2n$ sayısından 1 fazladır. Yani $n^2 + 2n + 1 > n^2 + 2n$.
Bu da demektir ki $\frac{n+1}{n+2} > \frac{n}{n+1}$.
Sonuç olarak, dizinin her terimi bir öncekinden büyüktür. Bu durumda, B seçeneği doğrudur ve A seçeneği yanlıştır.
Dizinin sabit bir sayıya yakınsaması demek, $n$ sonsuza giderken dizinin terimlerinin belirli bir değere yaklaşması demektir. Bu dizinin limitini bulalım:
$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}$
Bu limiti bulmak için payı ve paydayı $n$'ye bölelim:
$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}}$
$n$ sonsuza giderken, $\frac{1}{n}$ ifadesi 0'a yaklaşır. Dolayısıyla limit:
$\frac{1}{1 + 0} = 1$ olur.
Evet, dizi 1 sayısına yakınsar. Yani "Dizi sabit bir sayıya yakınsar" ifadesi matematiksel olarak doğrudur. Ancak, seçenekler A ve B dizinin terimleri arasındaki *anlık* ilişkiyi (artma veya azalma) sorguladığı için, bu bağlamda B seçeneği dizinin terimlerinin ilerleyişini daha doğrudan ve spesifik olarak açıklar.
Dizinin terimleri sayılardan oluştuğu için, sayılar arasında her zaman bir sıralama yapılabilir. Bu ifade açıkça yanlıştır.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, dizinin her teriminin bir öncekinden büyük olduğu kesin olarak belirlenmiştir.
Cevap B seçeneğidir.
