Rasyonel sayılar kümesinde sıralama yapılırken aşağıdaki özelliklerden hangisi her zaman doğru değildir?
A) $a < b$ ise $-a > -b$
B) $a < b$ ve $c < d$ ise $a + c < b + d$
C) $a < b$ ve $c < 0$ ise $a \cdot c > b \cdot c$
D) $a < b$ ise $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Rasyonel sayılar kümesinde sıralama yaparken kullandığımız bazı temel özellikler vardır. Bu soruda, verilen özelliklerden hangisinin her zaman doğru olmadığını bulmamız isteniyor. Her bir seçeneği dikkatlice inceleyelim ve neden doğru olup olmadığını örneklerle açıklayalım.
- A) $a < b$ ise $-a > -b$
- Bu özellik, bir eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayıyla (burada $-1$ ile) çarptığımızda eşitsizlik yönünün değiştiğini ifade eder. Bu kural, eşitsizliklerin temel özelliklerinden biridir ve her zaman doğrudur.
- Örnek: $2 < 5$ ise, her iki tarafı $-1$ ile çarptığımızda $-2 > -5$ olur. Gördüğümüz gibi, $-2$ sayısı $-5$ sayısından büyüktür. Bu ifade her zaman geçerlidir.
- B) $a < b$ ve $c < d$ ise $a + c < b + d$
- Bu özellik, aynı yönlü iki eşitsizliği taraf tarafa topladığımızda eşitsizlik yönünün korunacağını belirtir. Bu da eşitsizliklerin temel özelliklerinden biridir ve her zaman doğrudur.
- Örnek: $2 < 5$ ve $1 < 3$ olsun. Bu durumda $2+1 < 5+3$ yani $3 < 8$ olur. Bu ifade her zaman geçerlidir.
- C) $a < b$ ve $c < 0$ ise $a \cdot c > b \cdot c$
- Bu özellik, bir eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayıyla ($c$ sayısı negatif olduğu için) çarptığımızda eşitsizlik yönünün değiştiğini ifade eder. Bu da eşitsizliklerin temel özelliklerinden biridir ve her zaman doğrudur.
- Örnek: $2 < 5$ ve $c = -3$ olsun. Bu durumda $2 \cdot (-3) > 5 \cdot (-3)$ yani $-6 > -15$ olur. Gördüğümüz gibi, $-6$ sayısı $-15$ sayısından büyüktür. Bu ifade her zaman geçerlidir.
- D) $a < b$ ise $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$
- Bu özellik, bir eşitsizliğin her iki tarafının çarpmaya göre tersini (tersini) aldığımızda eşitsizlik yönünün korunacağını iddia eder. Ancak bu her zaman doğru değildir. Özellikle $a$ ve $b$ sayılarının işaretleri aynı olduğunda (ikisi de pozitif veya ikisi de negatif) bu kuralın yönü değişir.
- Karşı Örnek 1 (Pozitif sayılar için): $a = 2$ ve $b = 3$ olsun. $2 < 3$ ifadesi doğrudur.
Şimdi terslerini alalım: $\frac{1}{a} = \frac{1}{2}$ ve $\frac{1}{b} = \frac{1}{3}$.
$\frac{1}{2}$ mi küçüktür $\frac{1}{3}$ mü? Hayır, $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$'tür (çünkü $0.5 > 0.33...$). Dolayısıyla, $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ifadesi bu durumda doğru değildir.
- Karşı Örnek 2 (Negatif sayılar için): $a = -3$ ve $b = -2$ olsun. $-3 < -2$ ifadesi doğrudur.
Şimdi terslerini alalım: $\frac{1}{a} = \frac{1}{-3}$ ve $\frac{1}{b} = \frac{1}{-2}$.
$\frac{1}{-3}$ mü küçüktür $\frac{1}{-2}$ mü? Hayır, $-\frac{1}{3} > -\frac{1}{2}$'dir (çünkü yaklaşık $-0.33 > -0.5$). Dolayısıyla, $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ifadesi bu durumda da doğru değildir.
- Bu özellik sadece $a$ ve $b$ farklı işaretlere sahip olduğunda (örneğin $a < 0 < b$ olduğunda) geçerlidir. Ancak her zaman doğru olmadığı için bu seçeneği işaretlemeliyiz.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, D seçeneğindeki özelliğin her zaman doğru olmadığını görmüş olduk.
Cevap D seçeneğidir.
