Reel sayılarda sıralama aksiyomları Test 1

Bir öğrenci reel sayılarda sıralama özelliklerini kullanarak aşağıdaki çıkarımları yapmıştır:
I. x < y ise x² < y²
II. x < y ise -x > -y
III. 0 < x < y ise 1/x > 1/y
IV. x < y ve z < 0 ise xz > yz
Buna göre öğrencinin yaptığı çıkarımlardan hangileri doğrudur?

A) Yalnız II
B) II ve III
C) II, III ve IV
D) I, II ve IV

Reel sayılarda sıralama özellikleri, matematikte çok önemli bir konudur. Şimdi öğrencinin yaptığı çıkarımları adım adım inceleyelim ve hangilerinin doğru olduğunu bulalım.

• I. Çıkarım: $x < y$ ise $x^2 < y^2$

  Bu ifade her zaman doğru değildir. Bir eşitsizliğin her iki tarafının karesini aldığımızda, sayıların işaretleri önemlidir.

  Örnek: $x = -5$ ve $y = 2$ olsun. Bu durumda $x < y$ (yani $-5 < 2$) doğrudur.

  Şimdi karelerini alalım: $x^2 = (-5)^2 = 25$ ve $y^2 = 2^2 = 4$.

  Görüldüğü gibi $25 < 4$ ifadesi yanlıştır. Aksine $25 > 4$'tür.

  Bu çıkarım, $x$ ve $y$ pozitif olduğunda ($0 < x < y$) doğru olurdu, ancak genel olarak yanlıştır.

  Dolayısıyla, I. çıkarım yanlıştır.

• II. Çıkarım: $x < y$ ise $-x > -y$

  Bir eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayı ile çarptığımızda veya böldüğümüzde, eşitsizlik yön değiştirir.

  Burada $x < y$ eşitsizliğinin her iki tarafını $-1$ ile çarpıyoruz.

  $x \cdot (-1) > y \cdot (-1)$

  Bu da $-x > -y$ sonucunu verir.

  Örnek: $x = 3$ ve $y = 5$ olsun. $3 < 5$ doğrudur.

  Şimdi $-x$ ve $-y$ değerlerini bulalım: $-3$ ve $-5$.

  $-3 > -5$ ifadesi doğrudur.

  Dolayısıyla, II. çıkarım doğrudur.

• III. Çıkarım: $0 < x < y$ ise $1/x > 1/y$

  Pozitif sayılar için, bir eşitsizliğin her iki tarafının çarpmaya göre tersini (tersini) aldığımızda eşitsizlik yön değiştirir.

  Bu özellik sadece $x$ ve $y$ aynı işarette (ikisi de pozitif veya ikisi de negatif) olduğunda geçerlidir. Soru bize $0 < x < y$ diyerek $x$ ve $y$'nin pozitif olduğunu belirtmiştir.

  Örnek: $x = 2$ ve $y = 4$ olsun. $0 < 2 < 4$ doğrudur.

  Şimdi terslerini alalım: $1/x = 1/2$ ve $1/y = 1/4$.

  $1/2 > 1/4$ ifadesi doğrudur (çünkü $0.5 > 0.25$).

  Dolayısıyla, III. çıkarım doğrudur.

• IV. Çıkarım: $x < y$ ve $z < 0$ ise $xz > yz$

  Bu çıkarım, II. çıkarımda bahsettiğimiz kuralın genel bir uygulamasıdır.

  Bir eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayı ($z < 0$) ile çarptığımızda, eşitsizlik yön değiştirir.

  $x < y$ eşitsizliğinin her iki tarafını $z$ ile çarpalım:

  $x \cdot z > y \cdot z$

  Bu da $xz > yz$ sonucunu verir.

  Örnek: $x = 2$, $y = 5$ ve $z = -3$ olsun. $2 < 5$ ve $-3 < 0$ doğrudur.

  Şimdi $xz$ ve $yz$ değerlerini bulalım: $xz = 2 \cdot (-3) = -6$ ve $yz = 5 \cdot (-3) = -15$.

  $-6 > -15$ ifadesi doğrudur.

  Dolayısıyla, IV. çıkarım doğrudur.

Öğrencinin yaptığı çıkarımlardan II, III ve IV doğrudur.

Cevap C seçeneğidir.