9. Sınıf Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Noktası ve Değeri Test 1

Bir dikdörtgenin çevresi 40 cm olduğuna göre, alanının maksimum değeri kaç cm²'dir?

A) 80
B) 90
C) 100
D) 120

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir dikdörtgenin çevresi verilmiş ve alanının alabileceği en büyük değeri bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Dikdörtgenin Kenarlarını Tanımlayalım:

  Bir dikdörtgenin iki farklı kenarı vardır. Bu kenarlara $a$ ve $b$ diyelim.

• 2. Çevre Formülünü Kullanarak Kenarlar Arasındaki İlişkiyi Bulalım:

  Dikdörtgenin çevresi, tüm kenarlarının toplamıdır ve formülü $P = 2(a+b)$ şeklindedir. Soruda çevrenin 40 cm olduğu verilmiş. Bu bilgiyi formülde yerine yazalım:

  $40 = 2(a+b)$

  Her iki tarafı 2'ye bölersek:

  $a+b = 20$ cm

  Bu, dikdörtgenin iki kenarının toplamının 20 cm olması gerektiği anlamına gelir.

• 3. Alan Formülünü Yazalım:

  Bir dikdörtgenin alanı, kenarlarının çarpımıdır: $A = a \times b$.

• 4. Alanı Tek Bir Değişkene Bağlayalım:

  Şu anda alan formülünde iki farklı değişken ($a$ ve $b$) var. Ancak biz $a+b=20$ olduğunu biliyoruz. Bu eşitlikten $b$'yi $a$ cinsinden ifade edebiliriz: $b = 20-a$.

  Şimdi bu ifadeyi alan formülünde $b$ yerine yazalım:

  $A = a \times (20-a)$

  $A = 20a - a^2$

  Bu ifade, alanın $a$ kenarına bağlı bir fonksiyonudur.

• 5. Alanın Maksimum Değerini Bulalım:

  Elde ettiğimiz alan fonksiyonu $A(a) = -a^2 + 20a$ şeklinde ikinci dereceden bir denklemdir. Bu tür denklemlerin grafiği bir paraboldür. Başkatsayısı ($-a^2$'nin katsayısı) negatif olduğu için parabolün kolları aşağıya doğrudur, yani bir maksimum noktası vardır.

  Bir $Ax^2 + Bx + C$ şeklindeki parabolün tepe noktasının $x$ koordinatı $x = \frac{-B}{2A}$ formülüyle bulunur. Bizim denklemimizde $a$ değişkeni için $A = -1$ ve $B = 20$'dir.

  $a = \frac{-20}{2 \times (-1)}$

  $a = \frac{-20}{-2}$

  $a = 10$ cm

  Bu, alanın maksimum olması için dikdörtgenin bir kenarının 10 cm olması gerektiği anlamına gelir.

• 6. Diğer Kenarı ve Maksimum Alanı Hesaplayalım:

  Eğer $a = 10$ cm ise, $a+b=20$ eşitliğinden $b = 20-10 = 10$ cm olur.

  Gördüğümüz gibi, alanın maksimum olması için dikdörtgenin kenarları birbirine eşit olmalı, yani dikdörtgen bir kare olmalıdır. Bu önemli bir bilgidir: Belirli bir çevreye sahip dikdörtgenler arasında alanı en büyük olanı karedir.

  Şimdi bu kenar değerlerini kullanarak maksimum alanı hesaplayalım:

  $A_{maksimum} = a \times b = 10 \times 10 = 100$ cm²

Bu durumda, dikdörtgenin alanının alabileceği maksimum değer 100 cm²'dir.

Cevap C seçeneğidir.