Türev alma kuralları ve formülleri pdf Test 1

f(x) = sin(x) fonksiyonunun türevi nedir?

A) cos(x)
B) -sin(x)
C) -cos(x)
D) tan(x)

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim:

Sorumuz, f(x) = sin(x) fonksiyonunun türevinin ne olduğu.

• Adım 1: Türevin Temel Tanımını Hatırlayalım

Bir fonksiyonun türevi, o fonksiyonun değişim oranını gösterir. Yani, x'teki çok küçük bir değişiklik karşısında f(x)'in nasıl değiştiğini ifade eder. Türevin temel tanımı şöyledir:

f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h

Bu tanımı sin(x) fonksiyonuna uygulayacağız.

• Adım 2: Türev Tanımını sin(x) Fonksiyonuna Uygulayalım

f(x) = sin(x) ise, f(x+h) = sin(x+h) olur. Şimdi türev tanımında yerine koyalım:

f'(x) = lim (h->0) [sin(x+h) - sin(x)] / h

• Adım 3: Trigonometri Özdeşliğini Kullanalım

sin(x+h) = sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h) özdeşliğini kullanarak ifadeyi açalım:

f'(x) = lim (h->0) [sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h) - sin(x)] / h

• Adım 4: İfadeyi Düzenleyelim

sin(x) terimini ortak paranteze alalım:

f'(x) = lim (h->0) [sin(x)(cos(h) - 1) + cos(x)sin(h)] / h

Şimdi limiti iki ayrı terime ayıralım:

f'(x) = lim (h->0) sin(x) * (cos(h) - 1) / h + lim (h->0) cos(x) * sin(h) / h

• Adım 5: Limitleri Hesaplayalım

İki önemli limiti hatırlayalım:

lim (h->0) (cos(h) - 1) / h = 0

lim (h->0) sin(h) / h = 1

Bu limitleri yerine koyarsak:

f'(x) = sin(x) * 0 + cos(x) * 1

f'(x) = cos(x)

Sonuç olarak, f(x) = sin(x) fonksiyonunun türevi cos(x)'tir.

Cevap A seçeneğidir.