11. Sınıf Matematik 1. Dönem 2. Yazılı trigonometri Test 1

cot(π/4) ifadesinin değeri kaçtır?

A) 0
B) 1
C) √2
D) √3
E) 2

Bu soruda, trigonometrik bir ifadenin değerini bulmamız isteniyor: $\cot(\pi/4)$. Adım adım bu değeri nasıl bulacağımızı inceleyelim.

• Adım 1: Kotanjant Fonksiyonunu Anlamak

Kotanjant fonksiyonu, bir açının kosinüsünün sinüsüne oranı olarak tanımlanır. Yani, bir $x$ açısı için:

$\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

• Adım 2: Radyan Cinsinden Verilen Açıyı Dereceye Çevirmek (İsteğe Bağlı ama Faydalı)

Soruda verilen açı $\pi/4$ radyandır. Trigonometrik değerleri hatırlamak için bu açıyı dereceye çevirmek genellikle daha kolaydır. Şunu biliyoruz ki $\pi$ radyan $180^\circ$'ye eşittir.

Bu durumda, $\frac{\pi}{4}$ radyanı dereceye çevirelim:

$\frac{\pi}{4} \text{ radyan} = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$

Yani, bizden $\cot(45^\circ)$ değerini bulmamız isteniyor.

• Adım 3: $45^\circ$ Açısının Sinüs ve Kosinüs Değerlerini Hatırlamak

$45^\circ$ (veya $\pi/4$) özel bir açıdır ve trigonometrik değerleri sıkça kullanılır. Bir dik üçgende $45^\circ$ açısı olduğunda, diğer açı da $45^\circ$ olur ve bu bir ikizkenar dik üçgendir. Bu üçgenin kenar uzunlukları $a, a, a\sqrt{2}$ şeklinde düşünülebilir.

Bu özel açı için sinüs ve kosinüs değerleri şunlardır:

$\sin(45^\circ) = \frac{\text{karşı kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(45^\circ) = \frac{\text{komşu kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

• Adım 4: Kotanjant Değerini Hesaplamak

Şimdi Adım 1'deki kotanjant tanımını ve Adım 3'teki değerleri kullanarak $\cot(45^\circ)$ değerini hesaplayalım:

$\cot(45^\circ) = \frac{\cos(45^\circ)}{\sin(45^\circ)}$

Değerleri yerine koyarsak:

$\cot(45^\circ) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Pay ve payda aynı olduğu için bu oran $1$'e eşittir.

$\cot(45^\circ) = 1$

Bu adımları takip ederek $\cot(\pi/4)$ ifadesinin değerinin $1$ olduğunu buluruz.

Cevap B seçeneğidir.