Sayı doğrusunda $-2$ ile $-1$ arasında bulunan ve $-1$'e daha yakın olan rasyonel sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) $-\frac{5}{4}$Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için sayı doğrusundaki rasyonel sayıları anlamamız ve karşılaştırma yapabilmemiz gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:
Öncelikle, sayı doğrusunda $-2$ ile $-1$ arasındaki bölgeyi gözümüzde canlandıralım. Bu bölge, $-1$'den küçük ama $-2$'den büyük olan tüm sayıları içerir. Yani aradığımız sayı $x$ için $-2 < x < -1$ eşitsizliği sağlanmalıdır.
Verilen seçenekler kesirli sayılar olduğu için, onları daha kolay karşılaştırabilmek adına ya ondalık sayıya çevirelim ya da ortak bir paydada yazalım. $-2$ ve $-1$ sayılarını da kesir olarak ifade edelim. Seçeneklerin paydaları genellikle $4$ olduğu için, biz de paydamızı $4$ yapalım:
$-1 = -\frac{4}{4}$
$-2 = -\frac{8}{4}$
Şimdi seçenekleri inceleyelim:
A) $-\frac{5}{4}$
B) $-\frac{7}{4}$
C) $-\frac{3}{2} = -\frac{6}{4}$
D) $-\frac{9}{4}$
Şimdi, seçeneklerdeki sayıların $-\frac{8}{4}$ ile $-\frac{4}{4}$ arasında olup olmadığını kontrol edelim:
A) $-\frac{5}{4}$: Evet, $-\frac{8}{4} < -\frac{5}{4} < -\frac{4}{4}$ ($ -2 < -1.25 < -1 $). Bu sayı aralıktadır.
B) $-\frac{7}{4}$: Evet, $-\frac{8}{4} < -\frac{7}{4} < -\frac{4}{4}$ ($ -2 < -1.75 < -1 $). Bu sayı aralıktadır.
C) $-\frac{6}{4}$: Evet, $-\frac{8}{4} < -\frac{6}{4} < -\frac{4}{4}$ ($ -2 < -1.5 < -1 $). Bu sayı aralıktadır.
D) $-\frac{9}{4}$: Hayır, $-\frac{9}{4}$ ($ -2.25 $) sayısı $-\frac{8}{4}$ ($ -2 $) sayısından daha küçüktür. Yani bu sayı aralığın dışında kalır. Bu seçeneği eleyebiliriz.
Şimdi A, B ve C seçeneklerinden hangisinin $-1$'e (yani $-\frac{4}{4}$'e) daha yakın olduğunu bulmalıyız. Bir sayının başka bir sayıya uzaklığını bulmak için mutlak değerini kullanırız. Sayı doğrusunda iki sayı arasındaki mesafe, büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarıp mutlak değerini alarak bulunur.
A) $-\frac{5}{4}$ için:
$-1$'e uzaklığı: $|-\frac{5}{4} - (-\frac{4}{4})| = |-\frac{5}{4} + \frac{4}{4}| = |-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$
$-2$'ye uzaklığı: $|-\frac{5}{4} - (-\frac{8}{4})| = |-\frac{5}{4} + \frac{8}{4}| = |\frac{3}{4}| = \frac{3}{4}$
Gördüğümüz gibi, $\frac{1}{4} < \frac{3}{4}$ olduğundan $-\frac{5}{4}$ sayısı $-1$'e daha yakındır. Bu bizim aradığımız cevap olabilir!
B) $-\frac{7}{4}$ için:
$-1$'e uzaklığı: $|-\frac{7}{4} - (-\frac{4}{4})| = |-\frac{7}{4} + \frac{4}{4}| = |-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4}$
$-2$'ye uzaklığı: $|-\frac{7}{4} - (-\frac{8}{4})| = |-\frac{7}{4} + \frac{8}{4}| = |\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$
Burada $\frac{3}{4} > \frac{1}{4}$ olduğundan $-\frac{7}{4}$ sayısı $-2$'ye daha yakındır. Bu seçenek doğru değil.
C) $-\frac{6}{4}$ (yani $-\frac{3}{2}$) için:
$-1$'e uzaklığı: $|-\frac{6}{4} - (-\frac{4}{4})| = |-\frac{6}{4} + \frac{4}{4}| = |-\frac{2}{4}| = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$-2$'ye uzaklığı: $|-\frac{6}{4} - (-\frac{8}{4})| = |-\frac{6}{4} + \frac{8}{4}| = |\frac{2}{4}| = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Bu sayı, $-1$ ve $-2$'ye eşit uzaklıktadır. Yani tam ortadadır. Soru bizden $-1$'e daha yakın olanı istediği için bu seçenek de doğru değildir.
Tüm adımları incelediğimizde, hem $-2$ ile $-1$ arasında olan hem de $-1$'e daha yakın olan rasyonel sayının $-\frac{5}{4}$ olduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
