10. Sınıf Referans Fonksiyonlar ve Ters Fonksiyonları Test 1

f: [0, ∞) → [1, ∞), f(x) = x² + 1 fonksiyonu veriliyor. Buna göre f⁻¹(10) değeri kaçtır?

A) 3
B) 9
C) √10
D) √11

Fonksiyonun tersini bulma ve belirli bir değer için ters fonksiyonu hesaplama adımlarını dikkatlice inceleyelim.

• Adım 1: Ters fonksiyonun anlamını kavrayalım.

  $f^{-1}(10)$ ifadesi, $f(x)$ fonksiyonunun hangi $x$ değeri için $10$ sonucunu verdiğini bulmak anlamına gelir. Yani, $f(x) = 10$ denklemini sağlayan $x$ değerini arıyoruz.

• Adım 2: Verilen fonksiyonu kullanarak denklemi kuralım.

  Bize verilen fonksiyon $f(x) = x^2 + 1$'dir. $f(x) = 10$ eşitliğini kullanarak denklemi oluşturalım:

  $x^2 + 1 = 10$

• Adım 3: Denklemi çözelim.

  Şimdi bu denklemi $x$ için çözelim:

  $x^2 + 1 = 10$

  Eşitliğin her iki tarafından $1$ çıkaralım:

  $x^2 = 10 - 1$

  $x^2 = 9$

  $x$ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:

  $x = \pm\sqrt{9}$

  $x = \pm 3$

  Yani, $x = 3$ veya $x = -3$ olabilir.

• Adım 4: Tanım kümesini göz önünde bulundurarak doğru çözümü seçelim.

  Fonksiyonun tanım kümesi (domain) $[0, \infty)$ olarak verilmiştir. Bu, $x$ değerinin $0$'a eşit veya $0$'dan büyük olması gerektiği anlamına gelir.

  Bulduğumuz $x$ değerlerinden $x = 3$ değeri, tanım kümesi $[0, \infty)$ içindedir.

  Ancak $x = -3$ değeri, tanım kümesi $[0, \infty)$ içinde değildir (çünkü $-3 < 0$).

  Bu nedenle, fonksiyonun tanım kümesine uygun olan tek çözüm $x = 3$'tür.

  Dolayısıyla, $f^{-1}(10) = 3$'tür.

Cevap A seçeneğidir.