10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 1. senaryo test 1

Bir $A$ doğal sayısının asal çarpanları $2, 3$ ve $5$'tir. $A$ sayısının $100$'den küçük olduğu bilindiğine göre, $A$ sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 90
B) 75
C) 60
D) 45
E) 30

Bu soruyu çözmek için, verilen bilgileri adım adım değerlendirelim ve $A$ sayısının alabileceği en büyük değeri bulmaya çalışalım.

• Adım 1: $A$ sayısının yapısını belirleyelim.

  Soruda $A$ doğal sayısının asal çarpanlarının $2, 3$ ve $5$ olduğu belirtilmiştir. Bu, $A$ sayısının sadece bu asal sayıların kuvvetlerinin çarpımı şeklinde yazılabileceği anlamına gelir. Yani, $A$ sayısı $2^x \cdot 3^y \cdot 5^z$ şeklinde olmalıdır, burada $x, y, z$ birer pozitif tam sayıdır (çünkü $2, 3, 5$ asal çarpanları arasında yer almalıdır, dolayısıyla her birinin kuvveti en az $1$ olmalıdır).

• Adım 2: $A$ sayısının $100$'den küçük olma koşulunu kullanalım.

  $A < 100$ koşulunu göz önünde bulundurarak, $A$ sayısını en büyük yapmaya çalışacağız.

• Adım 3: Üsleri (kuvvetleri) belirleyelim.

  $A$ sayısını en büyük yapmak için, asal çarpanların üslerini mümkün olduğunca büyük tutmalıyız. Ancak, $A$ sayısının $100$'den küçük kalması gerekmektedir.

  • Öncelikle, en büyük asal çarpan olan $5$'in üssünü ($z$) inceleyelim.

    Eğer $z=2$ olsaydı, $A$ sayısı en az $2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 3 \cdot 25 = 150$ olurdu. Bu değer $100$'den büyüktür. Dolayısıyla, $z$ kesinlikle $1$ olmalıdır.

    Şimdi $A$ sayısının genel formu $2^x \cdot 3^y \cdot 5^1 = 5 \cdot 2^x \cdot 3^y$ şeklindedir.

  • Şimdi $y$ ve $x$ üslerini belirleyelim. $A < 100$ koşulunu kullanarak $5 \cdot 2^x \cdot 3^y < 100$ eşitsizliğini çözmeliyiz. Bu eşitsizliği $2^x \cdot 3^y < \frac{100}{5}$ yani $2^x \cdot 3^y < 20$ olarak basitleştirebiliriz. Unutmayalım ki $x \ge 1$ ve $y \ge 1$ olmalıdır.
  • Farklı $x$ ve $y$ değerlerini deneyelim:
    • Eğer $y=1$ ise:
      • $x=1$: $2^1 \cdot 3^1 = 6$. Bu değer $20$'den küçüktür. Bu durumda $A = 5 \cdot 6 = 30$.
      • $x=2$: $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$. Bu değer $20$'den küçüktür. Bu durumda $A = 5 \cdot 12 = 60$.
      • $x=3$: $2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$. Bu değer $20$'den büyük olduğu için $x=3$ olamaz.
    • Eğer $y=2$ ise:
      • $x=1$: $2^1 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$. Bu değer $20$'den küçüktür. Bu durumda $A = 5 \cdot 18 = 90$.
      • $x=2$: $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$. Bu değer $20$'den büyük olduğu için $x=2$ olamaz.
    • Eğer $y=3$ olsaydı, en küçük $x=1$ için bile $2^1 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$ olurdu, bu da $20$'den büyüktür. Dolayısıyla $y$ değeri $2$'den büyük olamaz.
• Adım 4: Elde edilen $A$ değerlerini karşılaştıralım.

  Yukarıdaki denemeler sonucunda $A$ sayısının alabileceği değerler $30, 60$ ve $90$'dır. Bu değerlerin hepsi $100$'den küçüktür ve asal çarpanları $2, 3, 5$'tir.

  Bu değerler arasında en büyüğü $90$'dır.

Cevap A seçeneğidir.