🎓 10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 1. senaryo test 1 - Ders Notu
Bu ders notu, 10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı sınavında karşılaşabileceğin Sayma Yöntemleri (Permütasyon, Kombinasyon), Olasılık ve Fonksiyonlar konularını sade bir dille özetlemektedir. Bu konuları iyi anlamak, sınavda başarılı olmanın anahtarıdır.
📌 Sayma Yöntemleri: Permütasyon ve Kombinasyon
Sayma yöntemleri, belirli bir kümedeki elemanları farklı şekillerde düzenleme veya seçme yollarını bulmamızı sağlar. Genellikle "kaç farklı şekilde yapılabilir?" sorularında karşımıza çıkar.
- Toplama Yoluyla Sayma: İki ayrı olaydan biri veya diğeri gerçekleşiyorsa ve bu olaylar aynı anda gerçekleşemiyorsa, olayların farklı sonuç sayıları toplanır.
- Çarpma Yoluyla Sayma: Bir olay $m$ farklı şekilde ve bu olayı takip eden başka bir olay $n$ farklı şekilde gerçekleşiyorsa, bu iki olay birlikte $m \times n$ farklı şekilde gerçekleşir.
📌 Permütasyon (Sıralama)
Permütasyon, bir kümedeki farklı elemanların belirli bir sıraya göre dizilişlerinin sayısıdır. Sıralama önemlidir!
- $n$ farklı elemanın $r$ tanesinin sıralanışı $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ formülüyle bulunur.
- $n$ farklı elemanın tamamının sıralanışı $n!$ (n faktöriyel) şeklindedir.
- Faktöriyel: $n! = n \times (n-1) \times ... \times 2 \times 1$ ve $0! = 1$ olarak kabul edilir.
💡 İpucu: Permütasyon sorularında "sıralama", "diziliş", "kaç farklı şekilde oturabilirler" gibi ifadeler arayın. Örneğin, 5 farklı kitaptan 3'ünü bir rafa kaç farklı şekilde dizebiliriz?
📌 Kombinasyon (Seçme)
Kombinasyon, bir kümedeki farklı elemanlardan belirli bir sayıda eleman seçmektir. Seçilen elemanların sırası önemli değildir, sadece hangi elemanların seçildiği önemlidir.
- $n$ farklı elemandan $r$ tanesinin seçilişi $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ formülüyle bulunur.
- $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ özelliği, hesaplamaları kolaylaştırabilir.
- $\binom{n}{0} = 1$, $\binom{n}{n} = 1$, $\binom{n}{1} = n$.
💡 İpucu: Kombinasyon sorularında "seçme", "oluşturulabilecek grup", "takım kurma" gibi ifadeler arayın. Örneğin, 5 öğrenciden 3 kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde seçilebilir?
📌 Olasılık
Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansının matematiksel ifadesidir. Bir olayın olma ihtimalini ölçeriz.
- Örnek Uzay ($E$): Bir deneyde ortaya çıkabilecek tüm sonuçların kümesidir.
- Olay: Örnek uzayın bir alt kümesidir.
- Çıktı: Bir deneyin her bir sonucudur.
Bir $A$ olayının olasılığı $P(A) = \frac{\text{A olayının eleman sayısı}}{\text{Örnek uzayın eleman sayısı}} = \frac{s(A)}{s(E)}$ formülüyle hesaplanır.
- Bir olayın olasılığı $0$ ile $1$ arasındadır: $0 \le P(A) \le 1$.
- Kesin olayın olasılığı $1$'dir. (Örnek: Bir zar atıldığında 7'den küçük gelme olasılığı.)
- İmkansız olayın olasılığı $0$'dır. (Örnek: Bir zar atıldığında 7 gelme olasılığı.)
- Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı $1$'dir: $P(A) + P(A') = 1$.
⚠️ Dikkat: Olasılık hesaplarken hem istenen durumların sayısını hem de tüm mümkün durumların sayısını doğru belirlemek çok önemlidir. Bu genellikle permütasyon veya kombinasyon kullanılarak yapılır.
📌 Fonksiyonlar: Temel Kavramlar
Fonksiyon, iki küme arasındaki özel bir ilişkidir. Bir $A$ kümesinin her elemanını $B$ kümesinin yalnızca bir elemanına eşleyen kurala fonksiyon denir.
- Tanım Kümesi: Fonksiyonda yerine yazabileceğimiz değerlerin kümesi ($A$ kümesi).
- Değer Kümesi: Fonksiyonun sonuçlarının bulunabileceği küme ($B$ kümesi).
- Görüntü Kümesi: Tanım kümesindeki elemanların fonksiyon altındaki görüntülerinin kümesi ($f(A)$). Görüntü kümesi, değer kümesinin bir alt kümesidir.
- Fonksiyon genellikle $f: A \to B$, $y = f(x)$ veya $x \to f(x)$ şeklinde gösterilir.
📌 Fonksiyon Türleri
Fonksiyonlar, eşleme özelliklerine göre farklı türlere ayrılır:
- Birebir (İnjeksiyon) Fonksiyon: Tanım kümesindeki her farklı elemanın görüntüsü de farklıdır. Yani, $x_1 \ne x_2 \implies f(x_1) \ne f(x_2)$.
- Örten (Sürjeksiyon) Fonksiyon: Değer kümesinde açıkta eleman kalmıyorsa, yani görüntü kümesi değer kümesine eşitse ($f(A) = B$).
- İçine Fonksiyon: Örten olmayan fonksiyondur. Değer kümesinde en az bir eleman açıkta kalıyorsa.
- Sabit Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanı değer kümesindeki tek bir elemana eşleyen fonksiyondur. $f(x) = c$ (c bir sabit sayı).
- Birim (Özdeşlik) Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyondur. $f(x) = x$. Genellikle $I(x)$ ile gösterilir.
📌 Bileşke Fonksiyon
İki veya daha fazla fonksiyonun art arda uygulanmasıyla oluşan yeni fonksiyondur. $(f \circ g)(x)$ şeklinde gösterilir ve $f(g(x))$ olarak okunur.
- $(f \circ g)(x) = f(g(x))$: Önce $g(x)$ hesaplanır, çıkan sonuç $f$ fonksiyonunda yerine yazılır.
- Bileşke fonksiyonun değişme özelliği yoktur: $(f \circ g)(x) \ne (g \circ f)(x)$ genellikle.
- Bileşke fonksiyonun birleşme özelliği vardır: $(f \circ (g \circ h))(x) = ((f \circ g) \circ h)(x)$.
- Birim fonksiyon $I(x)$ ile bileşke alındığında fonksiyon değişmez: $(f \circ I)(x) = (I \circ f)(x) = f(x)$.
📌 Ters Fonksiyon
Bir fonksiyonun tersi, görüntüyü tekrar tanım kümesindeki elemanına geri götüren fonksiyondur. Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için birebir ve örten olması gerekir.
- $f: A \to B$ birebir ve örten bir fonksiyon ise, tersi $f^{-1}: B \to A$ şeklinde gösterilir.
- Eğer $(a, b)$ noktası $f$ fonksiyonunun elemanı ise, $(b, a)$ noktası $f^{-1}$ fonksiyonunun elemanıdır.
- $y = f(x)$ ise, $x = f^{-1}(y)$ olur. Ters fonksiyonu bulmak için $y = f(x)$ denkleminde $x$ yalnız bırakılır ve sonra $x$ yerine $f^{-1}(x)$, $y$ yerine $x$ yazılır.
- Örneğin, $f(x) = 2x - 3$ ise, $y = 2x - 3 \implies y + 3 = 2x \implies x = \frac{y+3}{2}$. Yani $f^{-1}(x) = \frac{x+3}{2}$.
- Bir fonksiyon ile tersinin bileşkesi birim fonksiyondur: $(f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f)(x) = I(x) = x$.
💡 İpucu: Bir fonksiyonun grafiği ile tersinin grafiği $y = x$ doğrusuna göre simetriktir.
