Gerçek sayılarda tanımlı $f(x) = 2x - 3$ ve $g(x) = x^2 + 1$ fonksiyonları veriliyor. Buna göre, $(f \circ g)(x)$ fonksiyonunun kuralı nedir ve bu fonksiyon birebir midir?
A) $(f \circ g)(x) = 2x^2 - 1$, birebirdir.
B) $(f \circ g)(x) = 2x^2 - 1$, birebir değildir.
C) $(f \circ g)(x) = (2x - 3)^2 + 1$, birebirdir.
D) $(f \circ g)(x) = 2x^2 + 2x - 3$, birebir değildir.
E) $(f \circ g)(x) = 2x^2 + 2$, birebirdir.
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda iki fonksiyonun bileşkesini bulmayı ve ardından bu bileşke fonksiyonun birebir olup olmadığını incelemeyi öğreneceğiz. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Bileşke Fonksiyonun Kuralını Bulma $((f \circ g)(x))$
- Bileşke fonksiyon $(f \circ g)(x)$ demek, $f(g(x))$ demektir. Yani, $f$ fonksiyonunda $x$ yerine $g(x)$ fonksiyonunu yazacağız.
- Bize verilen fonksiyonlar: $f(x) = 2x - 3$ ve $g(x) = x^2 + 1$.
- Şimdi $f(g(x))$ ifadesini oluşturalım:
- $f(g(x)) = f(x^2 + 1)$
- $f(x)$ fonksiyonunda $x$ gördüğümüz yere $(x^2 + 1)$ yazarsak:
- $f(x^2 + 1) = 2(x^2 + 1) - 3$
- Parantezi dağıtalım:
- $2(x^2 + 1) - 3 = 2x^2 + 2 - 3$
- Sonuç olarak, $(f \circ g)(x) = 2x^2 - 1$ elde ederiz.
- 2. Adım: Bileşke Fonksiyonun Birebir Olup Olmadığını İnceleme
- Bir fonksiyonun birebir (injective) olması demek, tanım kümesindeki her farklı elemanın değer kümesinde farklı bir elemana eşlenmesi demektir. Yani, eğer $f(a) = f(b)$ ise, bu durumda $a = b$ olmalıdır.
- Bulduğumuz bileşke fonksiyon $(f \circ g)(x) = 2x^2 - 1$ şeklindedir. Bu bir parabol denklemidir (ikinci dereceden bir fonksiyondur).
- Bir fonksiyonun birebir olup olmadığını anlamak için farklı $x$ değerlerinin aynı $y$ değerini verip vermediğine bakabiliriz.
- Örneğin, $x=1$ ve $x=-1$ değerlerini deneyelim:
- $(f \circ g)(1) = 2(1)^2 - 1 = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1$
- $(f \circ g)(-1) = 2(-1)^2 - 1 = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1$
- Gördüğümüz gibi, $x=1$ ve $x=-1$ farklı giriş değerleri olmasına rağmen, fonksiyon aynı çıkış değeri olan $1$'i vermiştir. Yani $(f \circ g)(1) = (f \circ g)(-1)$ iken $1 \neq -1$'dir.
- Bu durum, fonksiyonun birebir olmadığını gösterir. Genel olarak, $ax^2 + bx + c$ şeklindeki parabolik fonksiyonlar, tanım kümeleri tüm gerçek sayılar olduğunda birebir değildirler çünkü tepe noktalarına göre simetriktirler.
- 3. Adım: Seçenekleri Değerlendirme
- Bulduğumuz $(f \circ g)(x) = 2x^2 - 1$ kuralı ve fonksiyonun birebir olmadığı bilgisi ile seçenekleri karşılaştıralım:
- A) $(f \circ g)(x) = 2x^2 - 1$, birebirdir. (Kural doğru, birebir değildir kısmı yanlış)
- B) $(f \circ g)(x) = 2x^2 - 1$, birebir değildir. (Kural doğru, birebir değildir kısmı doğru)
- C) $(f \circ g)(x) = (2x - 3)^2 + 1$, birebirdir. (Kural yanlış)
- D) $(f \circ g)(x) = 2x^2 + 2x - 3$, birebir değildir. (Kural yanlış)
- E) $(f \circ g)(x) = 2x^2 + 2$, birebirdir. (Kural yanlış)
Bu analiz sonucunda doğru seçeneğin B olduğu açıkça görülmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
